山东师范大学 2021年强基第4题
📝 题目
某乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过 24 度，就按每度 9 分钱收费；如果超过 24 度，超出的部分按每度 2 角钱来收费。已知在某月中，甲家比乙家多交了电费 9 角 6 分钱（用电按整度计算）问甲、乙两家各交了多少电费？
💡 答案解析
【解析】因为 9 分， 2 角均不能整除 9 角 6 分钱，故乙家用电不到 24 度，甲家用电超过 24 度，分别设二者用电度数为 $x, y$ 度，则 $96=20(y-24)+9(24-x)$ 。因为都是整数，验算发现只能是 $96=20 \cdot 3+9 \cdot 4$ ，故 $x=20, y=27$ ；从而甲乙两家分别交了电费 $24 \cdot 9+(27-24) \cdot 20=276$ 分（2元 7 角 6 分） $20 \cdot 9=180$ 分（ 1 元 8 角）钱。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析电费规则，判断两家用电范围
电费规则：不超过24度每度9分，超过部分每度20分。甲比乙多交96分，由于9和20均不能整除96，故乙用电不超过24度，甲用电超过24度。
提示：注意单位统一：9角6分=96分。
步骤 2/4
目标：设未知数并列出方程
设乙用电x度（x≤24），甲用电y度（y>24）。甲电费=24×9+(y-24)×20，乙电费=9x。甲比乙多96分：24×9+(y-24)×20 - 9x = 96，化简得20(y-24) + 9(24-x) = 96。
公式：20(y-24) + 9(24-x) = 96
提示：注意甲电费中超出部分按20分/度计算。
步骤 3/4
目标：求解整数方程
方程中x,y为整数，且x≤24，y>24。96可表示为20a+9b的形式，其中a=y-24，b=24-x。枚举a=0,1,2,3,4，对应b=(96-20a)/9，仅当a=3时b=4为整数。故y-24=3，24-x=4，得x=20，y=27。
公式：96 = 20×3 + 9×4
提示：枚举时注意a和b非负整数。
步骤 4/4
目标：计算两家电费
甲电费：24×9 + (27-24)×20 = 216 + 60 = 276分 = 2元7角6分。乙电费：20×9 = 180分 = 1元8角。
公式：甲电费=24×9+(27-24)×20，乙电费=20×9
提示：注意单位换算：1元=100分。
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