山东师范大学 2021年强基第11题
📝 题目
已知 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{3}, B, C$ 两点在 $\odot O$ 上满足 $\angle B O C=120^{\circ}$ ，点 $D$ 在优弧 $\overparen{B C}$ 上满足 $|D C|-|D B|=2$ ，求 $D B$ 的长度。
💡 答案解析
【解析】如图在线段 $D C$ 上取点 $E$ 使得 $|D E|=|D B|$ ，联结 $B E, B C$ 。由条件 $|B C|=3$ ， $\angle B D E=60^{\circ}$ 。又因为 $|D B|=|D E|$ ，所以三角形 $\triangle B D E$ 为等边三角形，故 $|B E|=|D B|$ ， $|E C|=|D C|-|D B|=2, \angle B E C=\pi-\angle D E B=120^{\circ}$ ，对三角形 $\triangle B E C$ 用余弦定理得 $\displaystyle -\frac{1}{2}=\frac{|D B|^{2}+2^{2}-3^{3}}{2 \cdot|D B| \cdot 2} \Rightarrow(|D B|+1)^{2}=6 \Rightarrow|D B|=\sqrt{6}-1$ 。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：在DC上取点E使DE=DB，连接BE、BC
在线段DC上取点E，使得DE=DB，连接BE和BC。
提示：构造等边三角形是常见辅助线
步骤 2/6
目标：计算BC长度
由半径为√3，∠BOC=120°，得BC=2√3·sin60°=3。
公式：BC=2R sin(∠BOC/2)
提示：利用圆心角与弦长关系
步骤 3/6
目标：证明△BDE为等边三角形
由∠BDE=60°（同弧所对圆周角是圆心角一半）且DB=DE，得△BDE等边。
提示：等边三角形判定：一角60°的等腰三角形
步骤 4/6
目标：计算EC长度和∠BEC
EC=DC-DB=2，∠BEC=180°-∠DEB=120°。
提示：邻补角关系
步骤 5/6
目标：在△BEC中应用余弦定理
在△BEC中，BE=DB，EC=2，BC=3，∠BEC=120°，由余弦定理得：BC²=BE²+EC²-2·BE·EC·cos120°。
公式：c²=a²+b²-2ab cosC
提示：注意cos120°=-1/2
步骤 6/6
目标：解方程求DB
代入得9=DB²+4-2·DB·2·(-1/2)=DB²+4+2DB，整理得DB²+2DB-5=0，解得DB=√6-1（负值舍去）。
公式：DB²+2DB-5=0
提示：一元二次方程求根公式
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