山东师范大学 2021年强基第13题
📝 题目
将 30 本笔记本分别给甲乙丙三组，甲组得到的笔记本数量是乙组的 3 倍，丙组得到的数量最少，且三个小组的数量均不相同，则丙组得到 本笔记本。 A． 2 B． 6 C． 7 D． 5
💡 答案解析
【解析】设丙组有 $x$ 本笔记本，由条件知 $30\gt (3+1+1) \cdot x \Rightarrow x\lt 6$（丙组数量最少），且 $4 \mid(30-x)$ （甲乙数量关系），二者结合立得 $x=2$ ，故选 $A$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设未知数
设丙组得到x本笔记本，乙组得到y本，则甲组得到3y本。
提示：设未知数时，选择丙组为x，乙组为y，便于表示倍数关系。
步骤 2/6
目标：建立总数量方程
总笔记本数为30，所以3y + y + x = 30，即4y + x = 30。
公式：4y + x = 30
提示：注意甲组是乙组的3倍，所以甲组为3y。
步骤 3/6
目标：利用丙组最少且各不相同
丙组数量最少，所以x < y 且 x < 3y；又三个小组数量均不相同，所以x ≠ y 且 x ≠ 3y。
提示：最少意味着丙组比乙组和甲组都小。
步骤 4/6
目标：推导x的范围
由4y + x = 30得y = (30 - x)/4，且y为正整数，所以30 - x能被4整除。又x < y，代入得x < (30 - x)/4，解得x < 6。
公式：x < 6
提示：整除条件缩小x的可能值。
步骤 5/6
目标：枚举可能的x值
x为正整数且x < 6，可能取值为1,2,3,4,5。同时需满足30 - x能被4整除，检验得x=2或x=6（但x<6排除6），所以x=2。
提示：注意x=6不满足x<6，故只有x=2。
步骤 6/6
目标：验证条件
x=2时，y=(30-2)/4=7，甲组21，丙组2，乙组7，满足丙组最少且各不相同。
提示：验证确保所有条件成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。