山东师范大学 2021年强基第19题
📝 题目
按规律填空：$\displaystyle \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{2}, 4,8,2$ ， 。 A． 6 B．$\displaystyle -\frac{1}{4}$ C．-1 D．$\displaystyle \frac{1}{8}$
💡 答案解析
【分析】我想的规律是 $a_{n-1} a_{n+1}=a_{n}$ ，但是没有相应选项 $\displaystyle \frac{1}{4}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：观察数列特征
数列为：1/4, 1/8, 1/2, 4, 8, 2。注意到相邻项之间没有明显的等差或等比关系，考虑其他规律如递推关系。
提示：尝试寻找相邻三项之间的关系。
步骤 2/10
目标：尝试递推关系
假设递推关系为 a_{n-1} * a_{n+1} = a_n。验证：1/4 * 1/2 = 1/8，成立；1/8 * 4 = 1/2，成立；1/2 * 8 = 4，成立；4 * 2 = 8，成立；8 * ? = 2，则 ? = 2/8 = 1/4。
公式：a_{n-1} * a_{n+1} = a_n
提示：验证前几项是否满足该关系。
步骤 3/10
目标：计算下一项
由递推关系，最后一项2与下一项x满足：8 * x = 2，解得x = 2/8 = 1/4。但选项中无1/4，需重新审视。
公式：8 * x = 2
提示：注意选项中没有1/4，可能规律不同。
步骤 4/10
目标：重新寻找规律
考虑其他规律：数列中数字有分数和整数，可能涉及乘除运算。观察相邻两项的比值：1/8 ÷ 1/4 = 1/2，1/2 ÷ 1/8 = 4，4 ÷ 1/2 = 8，8 ÷ 4 = 2，2 ÷ 8 = 1/4。比值序列为1/2, 4, 8, 2, 1/4，无规律。
提示：尝试比值或差值。
步骤 5/10
目标：考虑分组规律
将数列两两分组：(1/4, 1/8), (1/2, 4), (8, 2)。每组乘积：1/4 * 1/8 = 1/32，1/2 * 4 = 2，8 * 2 = 16。乘积无规律。
提示：分组后看乘积或和。
步骤 6/10
目标：考虑指数规律
将每个数写成2的幂：1/4 = 2^{-2}, 1/8 = 2^{-3}, 1/2 = 2^{-1}, 4 = 2^2, 8 = 2^3, 2 = 2^1。指数序列：-2, -3, -1, 2, 3, 1。观察指数规律：相邻指数差：-1, 2, 3, 1, -2，无规律。
提示：指数形式可能揭示规律。
步骤 7/10
目标：发现指数循环规律
指数序列：-2, -3, -1, 2, 3, 1。注意到这些数模3？-2≡1, -3≡0, -1≡2, 2≡2, 3≡0, 1≡1。无规律。但观察绝对值：2,3,1,2,3,1，循环！下一项指数绝对值应为2，符号？原序列中正负交替？实际：负负正正正正？不规律。
提示：注意绝对值循环。
步骤 8/10
目标：确定下一项
指数绝对值循环为2,3,1,2,3,1，下一项绝对值2。符号：前三个负，后三个正，下一项应为负？但选项中有-1/4对应指数-2，即1/4。但1/4不在选项。选项有-1/4，即-2^{-2}，但原数列无负号。可能规律不同。
提示：检查选项，-1/4是唯一负分数。
步骤 9/10
目标：验证选项
若下一项为-1/4，则指数为-2，但原数列指数均为正或负？实际1/4为正，-1/4为负。可能规律涉及符号交替？但原数列无负。考虑其他规律：a_n = a_{n-2} * a_{n-1}？1/4 * 1/8 = 1/32 ≠ 1/2。不成立。
提示：尝试其他递推。
步骤 10/10
目标：最终选择
根据递推a_{n-1} * a_{n+1} = a_n，下一项应为1/4，但无此选项。可能题目有误或规律不同。观察选项，-1/4是唯一与1/4绝对值相同的负数，可能符号规律。但原数列无负，故选择C. -1？不，-1对应指数0。
提示：结合选项，可能答案是C. -1。
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