山东师范大学 2021年强基第20题
📝 题目
求和 $\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{2019 \cdot 2020}$ 。 21 ．求 $321 \cdot 521+306 \cdot 642+963 \cdot 289=$ 。 A． 3210000 B． 321000 C． 642000 D． 6420000
💡 答案解析
【解析】裂项可知所求为 $\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}\right)=1-\frac{1}{2020}=\frac{2019}{2020}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别数列类型
观察数列每一项为1/(n(n+1))形式，n从1到2019，属于裂项相消求和类型。
公式：1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)
提示：注意分母为连续整数乘积，可裂项为两个分数之差。
步骤 2/5
目标：应用裂项公式
将每一项拆分为1/n - 1/(n+1)，例如1/(1·2)=1-1/2，1/(2·3)=1/2-1/3，依此类推。
公式：1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)
提示：裂项后注意符号，确保前后项能抵消。
步骤 3/5
目标：写出求和表达式
原式 = (1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/2019-1/2020)。
公式：∑_{n=1}^{2019} (1/n - 1/(n+1))
提示：写出前几项和最后一项，观察抵消规律。
步骤 4/5
目标：进行相消
中间项全部抵消，只剩第一项1和最后一项-1/2020。
公式：1 - 1/2020
提示：注意首项为1，末项为-1/2020。
步骤 5/5
目标：计算最终结果
1 - 1/2020 = 2019/2020。
公式：1 - 1/2020 = 2019/2020
提示：结果化为最简分数。
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