中国科学技术大学 2023年强基第1题
📝 题目
二元函数 $f(x, y)=(x+\cos y)^{2}+(2 x+3+\sin y)^{2}$ 的值域是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
由柯西不等式 $$ \begin{aligned} f(x, y) & =\left((x+\cos y)^{2}+(2 x+3+\sin y)^{2}\right)\left(1^{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}\right) \times \frac{1}{1^{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}} \\ & \geq\left(x+\cos y-x-\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \sin y\right)^{2} \cdot \frac{4}{5} \\ & =\left(\cos y-\frac{1}{2} \sin y-\frac{3}{2}\right)^{2} \cdot \frac{4}{5} \\ & \geqslant\left(\frac{3}{2}-\sqrt{1^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)^{2} \cdot \frac{4}{5}=\frac{14-6 \sqrt{5}}{5} \end{aligned} $$ 值域为 $\displaystyle \left[\frac{14-6 \sqrt{5}}{5},+\infty\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将函数表达式与柯西不等式形式匹配
观察到f(x,y)是两个平方和，考虑使用柯西不等式(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²。令a=x+cos y, b=2x+3+sin y，选择c=1, d=-1/2，使得ac+bd中x项抵消。
公式：(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²
提示：选择c,d使得x的系数和为0，从而消去x。
步骤 2/5
目标：应用柯西不等式得到下界
由柯西不等式：f(x,y) = (a²+b²) ≥ (ac+bd)²/(c²+d²)。代入a,b,c,d得：f(x,y) ≥ (x+cos y - (2x+3+sin y)/2)² / (1+1/4) = (cos y - (1/2)sin y - 3/2)² * (4/5)。
公式：f(x,y) ≥ (cos y - (1/2)sin y - 3/2)² * (4/5)
提示：注意分母是c²+d²=1+1/4=5/4，取倒数得4/5。
步骤 3/5
目标：求三角函数表达式的最小值
令g(y)=cos y - (1/2)sin y - 3/2。其振幅为√(1²+(1/2)²)=√5/2，所以g(y)的最小值为-3/2 - √5/2，最大值为-3/2 + √5/2。但平方后取最小值，需考虑绝对值最小。
公式：g(y) = cos y - (1/2)sin y - 3/2
提示：利用辅助角公式：cos y - (1/2)sin y = (√5/2)cos(y+φ)。
步骤 4/5
目标：确定平方的最小值
g(y)的取值范围是[-3/2 - √5/2, -3/2 + √5/2]。由于-3/2 - √5/2 < 0，-3/2 + √5/2 < 0（因为√5≈2.236，-1.5+1.118=-0.382），所以g(y)恒负，平方的最小值在g(y)绝对值最小时取得，即g(y)最大时：g_max = -3/2 + √5/2，平方得(3/2 - √5/2)²。
公式：min(g²) = (3/2 - √5/2)²
提示：由于g(y)始终为负，平方的最小值对应g(y)的最大值。
步骤 5/5
目标：计算最终下界并写出值域
代入得f(x,y) ≥ (3/2 - √5/2)² * (4/5) = ( (3-√5)/2 )² * (4/5) = ( (14-6√5)/4 ) * (4/5) = (14-6√5)/5。当x取适当值使柯西不等式等号成立，且g(y)取最大值时，等号成立，故下界可达。值域为[(14-6√5)/5, +∞)。
公式：f_min = (14-6√5)/5
提示：等号成立条件：a/c = b/d，即(x+cos y)/1 = (2x+3+sin y)/(-1/2)，可解出x。
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