中国科学技术大学 2023年强基第2题
📝 题目
设复数 $z$ 满足 $|z|=1$ ，则 $\displaystyle \omega=\frac{z+1}{z-1}$ ，则 $\displaystyle \left|\frac{1}{\omega^{2}}+4 \omega^{2}\right|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
4 $\displaystyle \left|\frac{1}{\omega^{2}}+4 \omega^{2}\right|=\left(\frac{1}{\omega^{2}}+4 \omega^{2}\right)\left(\frac{1}{\omega^{2}}+4 \omega^{2}\right)$. $\displaystyle =\frac{1}{|\omega|^{4}}+16\left(|w|^{4}+4\left(\left(\frac{\omega}{|\omega|}\right)^{2}+\left(\frac{|\omega|}{\omega}\right)^{2}\right)\right.$ $\displaystyle \frac{\omega}{\omega}=\frac{z+1}{z-1} \cdot \frac{\bar{z}-1}{\bar{z}+1}=\frac{|z|^{2}-1+\bar{z}-z}{|z|^{2}-1+z-z}=-1$ ． $\displaystyle \left(\frac{1}{w^{4}}+4 w^{4}\right)^{2}=2 \sqrt{\frac{1}{w^{4}} 16 w^{4}}+8$ ． $=16$ ． $\displaystyle \frac{1}{\omega^{4}}+4 \omega^{4} \geq 4$ ．当 $\displaystyle \omega=\frac{\sqrt{2}}{2} i$ 时取到 $\displaystyle Z=\frac{\mathrm{w} / 2}{\mathrm{w}-1}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简ω的表达式
设z在单位圆上，则z的共轭为1/z。代入ω=(z+1)/(z-1)，得ω的共轭为(1/z+1)/(1/z-1)=(1+z)/(1-z)=-ω。因此ω是纯虚数。
公式：ω = (z+1)/(z-1), ω̅ = -ω
提示：利用|z|=1时z̅=1/z简化
步骤 2/6
目标：求|ω|的值
由ω̅=-ω得ω为纯虚数，设ω=iy，y∈R。计算|ω|^2=ωω̅=-ω^2。又由ω=(z+1)/(z-1)得|ω|=|z+1|/|z-1|，利用几何意义或计算得|ω|=1/|z-1|? 实际上，由ω̅=-ω可得|ω|^2=ω(-ω)=-ω^2，但ω^2为负实数，故|ω|^2=-ω^2。进一步，由ω表达式可求|ω|的具体值。
公式：|ω|^2 = -ω^2
提示：注意ω是纯虚数，其平方为负实数
步骤 3/6
目标：将目标表达式用|ω|和ω的幅角表示
设ω=re^{iθ}，由ω纯虚知θ=π/2或3π/2，故ω^2=-r^2。则1/ω^2+4ω^2 = -1/r^2 -4r^2 = -(1/r^2+4r^2)。其模为1/r^2+4r^2。
公式：1/ω^2+4ω^2 = -(1/r^2+4r^2)
提示：利用ω^2为负实数简化
步骤 4/6
目标：求r=|ω|的范围
由ω=(z+1)/(z-1)，z在单位圆上，则ω对应复平面上点，其轨迹为虚轴。实际上，ω为纯虚数，且可任意大？令z→1，则ω→∞；令z→-1，则ω→0。故r>0可取任意正数。
公式：r ∈ (0, +∞)
提示：注意z不能等于1，但可趋近
步骤 5/6
目标：求函数f(r)=1/r^2+4r^2的最小值
由均值不等式，1/r^2+4r^2 ≥ 2√(4)=4，当且仅当1/r^2=4r^2即r^4=1/4，r=1/√2时取等。因此最小值为4。
公式：1/r^2+4r^2 ≥ 2√(1/r^2 * 4r^2)=4
提示：均值不等式应用
步骤 6/6
目标：得出最终答案
目标表达式模的最小值为4。
公式：min = 4
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