中国科学技术大学 2023年强基第3题
📝 题目
$(1+2 x)^{2023}$ 的展开域中，正整数 $n=$ $\_\_\_\_$时，$x^{n}$ 的系数最大？
💡 答案解析
设 $i$ 为最大的 $n$ $$ \begin{aligned} C_{2023}^{i} 2^{2023-i} & \geq C_{2023}^{i+1} 2^{2023-(i+1)} . \\ 2 \cdot \frac{2023!}{i!(2023-i)!} & \geq \frac{2023!}{(i+1)!(2022-i)!} \\ 2(i+1) & \geq 2023-i . \\ i & \geq 674 . \\ C_{2023}^{i} 2^{2023-i} & \geq C_{2023}^{i-1} 2^{2023-(i-1)} . \\ \frac{2023!}{i!(2023-i)!} & \geq \frac{2023!}{(i-1)!(2024-i)!} \cdot 2 . \\ 2 i & \leq 2024-i . \\ i & \leq 674 \cdot i=674 . \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设最大系数对应的指数为i
设i为使得x^i系数最大的指数，则系数为C(2023,i)*2^(2023-i)。
公式：C(2023,i)*2^(2023-i)
提示：系数最大时，其值不小于相邻两项的系数。
步骤 2/6
目标：建立与后一项的比较不等式
由系数最大，有C(2023,i)*2^(2023-i) ≥ C(2023,i+1)*2^(2022-i)。
公式：C(2023,i)*2^(2023-i) ≥ C(2023,i+1)*2^(2022-i)
提示：比较相邻项系数，消去公因子。
步骤 3/6
目标：化简不等式得到i的下界
化简得2(i+1) ≥ 2023-i，即3i ≥ 2021，解得i ≥ 674。
公式：2(i+1) ≥ 2023-i ⇒ i ≥ 674
提示：注意组合数公式C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)的化简。
步骤 4/6
目标：建立与前一项的比较不等式
由系数最大，有C(2023,i)*2^(2023-i) ≥ C(2023,i-1)*2^(2024-i)。
公式：C(2023,i)*2^(2023-i) ≥ C(2023,i-1)*2^(2024-i)
提示：同样比较相邻项，方向相反。
步骤 5/6
目标：化简不等式得到i的上界
化简得2i ≤ 2024-i，即3i ≤ 2024，解得i ≤ 674。
公式：2i ≤ 2024-i ⇒ i ≤ 674
提示：注意不等式方向，确保系数最大。
步骤 6/6
目标：确定i的值并得出n
由i ≥ 674且i ≤ 674，得i=674。因此正整数n=674时系数最大。
公式：i=674
提示：n即为指数i。
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