中国科学技术大学 2023年强基第4题
📝 题目
抛物线 $y=x^{2}+a, y=-x^{2}-a$ 都与 $x=y^{2}+a, x=-y^{2}-a$ 相切，求中间所围的封闭图形面积 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
由于四条抛物线相切，由对称性知其与 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 都相切 $$ \begin{array}{r} y=x^{2}+a \\ y^{\prime}=2 x=1 . \end{array} $$ $x=1 / 2$ 切点为 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}+a\right)$ $$ \begin{gathered} \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{4}+a\right)^{2}+a \\ a=\frac{1}{4} \end{gathered} $$📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析对称性，确定相切条件
由四条抛物线两两相切，且图形关于直线y=x对称，因此切点位于y=x上。
提示：利用对称性简化问题
步骤 2/8
目标：求切点坐标
设切点在y=x上，对y=x²+a求导得y'=2x，由相切条件y'=1得x=1/2，切点为(1/2, 1/4+a)。
公式：y'=2x=1
提示：导数等于切线斜率
步骤 3/8
目标：代入另一抛物线方程求a
切点也在x=y²+a上，代入得1/2=(1/4+a)²+a，解得a=1/4。
公式：1/2=(1/4+a)^2+a
提示：解二次方程
步骤 4/8
目标：确定图形边界
四条抛物线为y=x²+1/4, y=-x²-1/4, x=y²+1/4, x=-y²-1/4，它们围成一个封闭区域。
提示：注意对称性
步骤 5/8
目标：计算面积
由对称性，面积等于第一象限内图形面积的4倍。第一象限内由y=x²+1/4和x=y²+1/4围成，交点即切点(1/2,1/2)。
提示：利用对称性简化积分
步骤 6/8
目标：积分求第一象限面积
第一象限面积S1=∫_{0}^{1/2}[(x²+1/4) - (√(x-1/4)?)]dx，但更简单：由对称性，S1=∫_{0}^{1/2}(x²+1/4 - (x-1/4)?)dx，实际需用反函数。正确做法：S1=∫_{0}^{1/2}(x²+1/4 - (x-1/4)?)dx，但注意x=y²+1/4即y=√(x-1/4)，积分限从x=1/4到1/2。
公式：S1=∫_{1/4}^{1/2}(√(x-1/4) - (x²+1/4)?)dx
提示：注意积分变量和上下限
步骤 7/8
目标：计算积分
S1=∫_{1/4}^{1/2}(√(x-1/4) - (x²+1/4)?)dx，但实际应为S1=∫_{0}^{1/2}(x²+1/4)dx - ∫_{1/4}^{1/2}√(x-1/4)dx，计算得S1=1/12。
公式：∫(x²+1/4)dx = x³/3 + x/4; ∫√(x-1/4)dx = (2/3)(x-1/4)^(3/2)
提示：注意积分限
步骤 8/8
目标：得出总面积
总面积S=4S1=4*(1/12)=1/3。
公式：S=4S1
提示：乘以对称倍数
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