中国科学技术大学 2023年强基第5题
📝 题目
已知实系数函数 $f(x)=x^{3}+b x^{2}+c x+d$ ，当 $x \in[-1,1]$ 时，恒有 $|f(x)| \leq|x+1|$ ，证明：$f(x)=0$ 的根均为实数。
💡 答案解析
取 $x=-1$ ，有 $|f(x)| \leqslant 0$ 。因此 $f(x)$ 有因式 $x+1$ ． 设 $f(x)=(x+1)\left(x^{2}+\mathrm{e} x+d\right)$ ． 则 当 $x \in(-1,1],\left|x^{2}+e x+d\right| \leq 1$ $$ \lim _{x \rightarrow-1}\left|x^{2}+\mathrm{e} x+d\right|=|1+d-\mathrm{e}| \leqslant 1 $$ 取 $x=1 .|1+\mathrm{e}+d| \leqslant 1$ 取 $x=0 .|d| \leq 1$ ． 若 $f(x)$ 有复数根，则 $$ \begin{gathered} x^{2}+e x+d>0 \\ 0<1-e+d \leq 1 \\ 0<1+e+d \leq 1 . \\ 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用条件得到f(-1)=0
取x=-1，由|f(-1)|≤0得f(-1)=0，故x+1是f(x)的因式。
公式：f(-1)=0
提示：注意绝对值非负，不等式推出等式。
步骤 2/6
目标：设出f(x)的因式分解形式
设f(x)=(x+1)(x^2+ex+d)，其中e,c,d为实数。
公式：f(x)=(x+1)(x^2+ex+d)
提示：因式分解后二次项系数为1。
步骤 3/6
目标：利用x∈(-1,1]时的条件得到不等式
由|f(x)|≤|x+1|，当x≠-1时，两边除以|x+1|得|x^2+ex+d|≤1。
公式：|x^2+ex+d|≤1, x∈(-1,1]
提示：注意x=-1时已单独处理。
步骤 4/6
目标：取特殊点得到不等式组
取x→-1+得|1+d-e|≤1；取x=1得|1+e+d|≤1；取x=0得|d|≤1。
公式：|1+d-e|≤1, |1+e+d|≤1, |d|≤1
提示：极限处理x→-1。
步骤 5/6
目标：假设有复数根并推导矛盾
若f(x)有复数根，则二次式x^2+ex+d恒正，判别式<0。由恒正得d>0，且1-e+d>0，1+e+d>0。结合不等式得0<1-e+d≤1，0<1+e+d≤1，0
公式：Δ=e^2-4d<0, d>0, 1±e+d>0
提示：复数根对应二次式无实根且开口向上。
步骤 6/6
目标：导出矛盾
由0<1-e+d≤1和0<1+e+d≤1相加得0<2+2d≤2，即d≤0，与d>0矛盾。故假设不成立，所有根为实数。
公式：2+2d≤2 ⇒ d≤0
提示：不等式相加得到矛盾。
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