中国科学技术大学 2023年强基第6题
📝 题目
已知正整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}, a_{1}=b_{1}=1$ ，且 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足： $c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ，若存在正整数 $k$ 满足 $c_{k}=37, c_{k+2}=307$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的通项公式。
💡 答案解析
$b_{k}=q^{k-1}$ $a_{k}=(k-1) d+1$ ． $q^{k-1}+(k-1) d+1=37$ $q^{k-1}+(k-1) d=36$ ． $q^{k+1}+(k+1) d+k=307$ $q^{k+1}+(k+1) d=306$ ． $k=2\left\{\begin{array}{c}q+d=36 \\ q^{3}+3 d=306\end{array}\right.$ $q^{3}-3 q=198$ ． $q=6, d=30$ 符合． $k=3\left\{\begin{array}{l}q^{2}+2 d=36 . \\ q^{4}+4 d=306 .\end{array}\right.$ $q^{4}-2 q^{2}=234$ 无整数解 $k=4 .\left\{\begin{array}{c}q^{3}+3 d=36 \\ q^{5}+5 d=306\end{array}\right.$ $q^{5} \leqslant 306 q \leqslant 3$ ．当 $q=3, d=3$ 舍． 当 $q=2, d$ 无解． 当 $k \geq 5$ 时，$q^{6}+6 d=306, q \leqslant 2$ ． $q=2 . q^{k} \leqslant 36 . k \leqslant 5, k=5$ ． $2^{5}+4 d=36 \quad d=1$ 综上 $c_{n}=a_{n}+b_{n}=30(n-1)+1+6^{n-1}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设等差数列公差d，等比数列公比q，写出通项
设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q，由a1=b1=1得an=1+(n-1)d，bn=q^(n-1)。
公式：an=1+(n-1)d, bn=q^(n-1)
提示：注意n从1开始
步骤 2/6
目标：利用ck=37和c(k+2)=307列方程
由cn=an+bn得：1+(k-1)d+q^(k-1)=37，1+(k+1)d+q^(k+1)=307。化简得：(k-1)d+q^(k-1)=36，(k+1)d+q^(k+1)=306。
公式：(k-1)d+q^(k-1)=36, (k+1)d+q^(k+1)=306
提示：两式相减消去d
步骤 3/6
目标：两式相减消去d，得到关于q和k的方程
两式相减得：2d+q^(k+1)-q^(k-1)=270。由第一式得d=(36-q^(k-1))/(k-1)，代入得关于q和k的方程。
公式：2d+q^(k+1)-q^(k-1)=270
提示：注意k≥2
步骤 4/6
目标：分类讨论k的可能取值
由于q为正整数，k为正整数，尝试k=2,3,4,...。分别代入求解q和d，检验是否为正整数。
提示：从k=2开始尝试
步骤 5/6
目标：k=2时求解q和d
k=2时，方程化为：d+q=36，3d+q^3=306。解得q=6，d=30，符合正整数条件。
公式：d+q=36, 3d+q^3=306
提示：代入消元得q^3-3q=198
步骤 6/6
目标：验证k=2的解并写出通项
q=6，d=30，则an=1+30(n-1)=30n-29，bn=6^(n-1)，cn=30n-29+6^(n-1)。
公式：cn=30n-29+6^(n-1)
提示：检查k=2时ck=37，c(k+2)=307成立
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