中国科学技术大学 2023年强基第7题
📝 题目
一个箱子里有 $m$ 个黑球和 $n$ 个白球 $(m\lt n)$ ，从箱子中不放回的每次抽取一个球，直到取完，记 $P(m, n)$ 为整个取球过程中，黑球个数始终小于白球个数的概率 （1）求 $P(2,4)$ ； （2）求 $P(m, n)$ 的表达式。
💡 答案解析
由卡特兰数性质和 $\displaystyle P(m, m)=\frac{\frac{c_{2 m}^{m}}{m+1}}{c_{2 m}^{m}}=\frac{1}{m+1}$ 当 $n\gt m$ 时．且 $m \geqslant 1$ 时 $$ P(m, n)=\frac{m}{m+n} P(m-1, n)+\frac{n}{m+n} P(m, n-1) . $$ 且 $P(0, m)=1$ ． 对 $m+n=k$ 用数学归纳法，证明 $\displaystyle P(m, n)=\frac{n-m+1}{n+1}$ $k=1$ 时显然假设对 $k-1$ 时成立， （1）$\displaystyle n=m P(m, m)=\frac{1}{m+1}$ 知其成立。 （2）$m=0$ 由 $P(0, m)=1$ 知其成立 （3）$n>m, m \geq 1$ ． $$ \begin{aligned} P(m, n) & =\frac{m}{m+n} \cdot \frac{n-m+2}{n+1}+\frac{n}{m+n} \cdot \frac{n-m}{n} . \\ & =\frac{(n-m+2) m+(n-m)(n+1)}{(m+n)(n+1)}=\frac{n-m+1}{n+1} \end{aligned}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题并建立递推关系
设P(m,n)为黑球数始终小于白球数的概率。考虑第一次抽取：若抽到黑球（概率m/(m+n)），则剩余状态为(m-1,n)，且需后续始终满足黑球<白球；若抽到白球（概率n/(m+n)），则剩余状态为(m,n-1)。因此有递推式：P(m,n) = (m/(m+n))P(m-1,n) + (n/(m+n))P(m,n-1)。
公式：P(m,n) = (m/(m+n))P(m-1,n) + (n/(m+n))P(m,n-1)
提示：注意边界条件：P(0,n)=1（无黑球时始终满足条件），P(m,m)=1/(m+1)（卡特兰数）。
步骤 2/5
目标：计算P(2,4)的值
利用递推式逐步计算：P(0,n)=1，P(1,1)=1/2，P(1,2)=? 先计算P(1,2)=(1/3)P(0,2)+(2/3)P(1,1)=(1/3)*1+(2/3)*(1/2)=1/3+1/3=2/3。然后P(2,2)=1/3，P(2,3)=(2/5)P(1,3)+(3/5)P(2,2)，需先求P(1,3)=(1/4)P(0,3)+(3/4)P(1,2)=1/4+ (3/4)*(2/3)=1/4+1/2=3/4。所以P(2,3)=(2/5)*(3/4)+(3/5)*(1/3)=6/20+3/15=3/10+1/5=3/10+2/10=1/2。最后P(2,4)=(2/6)P(1,4)+(4/6)P(2,3)，先求P(1,4)=(1/5)P(0,4)+(4/5)P(1,3)=1/5+(4/5)*(3/4)=1/5+3/5=4/5。所以P(2,4)=(1/3)*(4/5)+(2/3)*(1/2)=4/15+1/3=4/15+5/15=9/15=3/5。
公式：P(2,4)=3/5
提示：逐步代入递推式，注意分数计算。
步骤 3/5
目标：猜测P(m,n)的表达式
由P(2,4)=3/5，且P(0,n)=1，P(m,m)=1/(m+1)，猜测P(m,n)=(n-m+1)/(n+1)。验证：当m=0时，(n-0+1)/(n+1)=1；当m=n时，(n-n+1)/(n+1)=1/(n+1)，符合。
公式：P(m,n) = (n-m+1)/(n+1)
提示：利用边界条件验证猜测。
步骤 4/5
目标：用数学归纳法证明表达式
对m+n=k归纳。k=1时，只有(0,1)或(1,0)但mm≥1，由递推式：P(m,n)= (m/(m+n))P(m-1,n) + (n/(m+n))P(m,n-1)。代入归纳假设：P(m-1,n)= (n-(m-1)+1)/(n+1) = (n-m+2)/(n+1)，P(m,n-1)= ((n-1)-m+1)/((n-1)+1) = (n-m)/n。代入得：P(m,n)= (m/(m+n))*(n-m+2)/(n+1) + (n/(m+n))*(n-m)/n = [m(n-m+2) + (n+1)(n-m)] / [(m+n)(n+1)] = [mn - m^2 + 2m + n^2 - mn + n - m] / [(m+n)(n+1)] = [n^2 - m^2 + n + m] / [(m+n)(n+1)] = [(n-m)(n+m) + (n+m)] / [(m+n)(n+1)] = (n+m)(n-m+1) / [(m+n)(n+1)] = (n-m+1)/(n+1)。得证。
公式：P(m,n) = (n-m+1)/(n+1)
提示：注意归纳假设的代入和代数化简。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
（1）P(2,4)=3/5；（2）P(m,n)=(n-m+1)/(n+1)，其中m
公式：P(m,n) = (n-m+1)/(n+1)
提示：答案需明确m
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