中国科学技术大学 2023年强基第8题
📝 题目
$n \in Z_{+}$，求证：$\displaystyle \frac{1^{2}}{n^{2}+1^{2}}+\frac{2^{2}}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{2}+n^{2}} \leq \frac{n^{2}+2 n}{4 n+2}$ ．
💡 答案解析
$$ \begin{aligned} & \frac{i^{2}}{n^{2}+i^{2}}=1-\frac{n^{2}}{n^{2}+i^{2}} \\ & \sum_{i=1}^{n} \frac{i^{2}}{n^{2}+i^{2}} \leq \frac{n^{2}+2 n}{4 n+2} \\ & \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} 1-\frac{n^{2}}{n^{2}+i^{2}} \leqslant \frac{n^{2}+2 n}{4 n+2} \\ & \Leftrightarrow n-n^{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+i^{2}} \leqslant \frac{n^{2}+2 n}{4 n+2} \\ & \Leftrightarrow \frac{3}{4 n+2} \leqslant \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+i^{2}} \end{aligned} $$ 由 Cauthy 不等式 $$ \begin{aligned} & \left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+i^{2}}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} n^{2}+i^{2}\right) \geqslant n^{2} . \\ & \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+i^{2}} \geqslant \frac{n^{2}}{n^{3}+\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)} \geqslant \frac{3}{4 n+2}(*) \\ & (*) \Leftrightarrow 4 n^{2}+3 n \geqslant 3 n^{2}+n^{2}+\frac{3}{2} n+\frac{1}{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将每一项改写为1减去一个分数
对每个i，有i^2/(n^2+i^2)=1-n^2/(n^2+i^2)，这样求和后可以分离常数项。
公式：i^2/(n^2+i^2)=1-n^2/(n^2+i^2)
提示：这种变形常用于处理分式求和，将复杂项转化为简单形式。
步骤 2/5
目标：将原不等式转化为关于倒数和的不等式
原不等式左边求和后得到n - n^2 * sum_{i=1}^n 1/(n^2+i^2) ≤ (n^2+2n)/(4n+2)，移项化简得sum_{i=1}^n 1/(n^2+i^2) ≥ 3/(4n+2)。
公式：n - n^2 * S ≤ (n^2+2n)/(4n+2) ⇒ S ≥ 3/(4n+2)
提示：注意不等式方向，移项时要小心符号。
步骤 3/5
目标：应用柯西不等式估计倒数和的下界
由柯西不等式：(∑1/(n^2+i^2)) * (∑(n^2+i^2)) ≥ n^2，其中∑(n^2+i^2)=n^3 + n(n+1)(2n+1)/6。
公式：(∑a_i)(∑b_i) ≥ (∑√(a_i b_i))^2，取a_i=1/(n^2+i^2), b_i=n^2+i^2
提示：柯西不等式是处理倒数和与平方和乘积的常用工具。
步骤 4/5
目标：计算∑(n^2+i^2)并代入不等式
∑_{i=1}^n (n^2+i^2)=n*n^2 + ∑i^2 = n^3 + n(n+1)(2n+1)/6 = (6n^3 + n(n+1)(2n+1))/6。
公式：∑i^2 = n(n+1)(2n+1)/6
提示：注意求和公式的准确使用。
步骤 5/5
目标：推导出倒数和的下界并验证原不等式
由柯西不等式得S ≥ n^2 / (∑(n^2+i^2))，代入计算得S ≥ 6n^2 / (6n^3 + n(n+1)(2n+1))，化简后与3/(4n+2)比较，证明前者大于等于后者，从而原不等式成立。
公式：S ≥ n^2 / (n^3 + n(n+1)(2n+1)/6) = 6n^2 / (6n^3 + n(n+1)(2n+1))
提示：最后需要比较两个下界的大小，通常通过作差或作商完成。
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