中国科学技术大学 2022年强基第1题
📝 题目
在 $\triangle A B C$ 中，$A=2 \sqrt{B C}, \mathrm{a}=\mathrm{b}(\mathrm{b}+\mathrm{c})=1$ ，求 $\triangle A B C$ 的面试。（20 分）
💡 答案解析
解：
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将已知条件转化为方程
由A=2√(BC)得A²=4BC，由a=b(b+c)=1得a=1，b(b+c)=1。
公式：A²=4BC, a=1, b(b+c)=1
提示：注意A是角，BC是边，但A=2√(BC)是数值等式，A应为边长？题目可能有误，假设A是边长。
步骤 2/5
目标：利用余弦定理建立关系
由余弦定理：a²=b²+c²-2bc cosA，代入a=1，得1=b²+c²-2bc cosA。
公式：a²=b²+c²-2bc cosA
提示：注意角A与边a对应。
步骤 3/5
目标：利用A²=4BC消去A
将A²=4BC代入余弦定理？但A是角，不能直接代入。需重新审题：可能A表示边长？假设A是边长，则A=2√(BC)且a=1，故A=1，得1=2√(BC)，即BC=1/4。
公式：A=1, BC=1/4
提示：题目中A和a可能混淆，通常A表示角，a表示边。但这里A=2√(BC)是数值，可能A是边长。
步骤 4/5
目标：结合b(b+c)=1和BC=1/4求解b,c
由b(b+c)=1得b²+bc=1，又bc=1/4，代入得b²+1/4=1，b²=3/4，b=√3/2。则c=(1/4)/b=1/(2√3)=√3/6。
公式：b²+bc=1, bc=1/4
提示：注意b>0，c>0。
步骤 5/5
目标：计算三角形面积
面积S=(1/2)bc sinA，但A未知。由余弦定理求cosA：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=((3/4)+(1/12)-1)/(2*(1/4))=( (9/12+1/12-12/12) )/(1/2)=(-2/12)/(1/2)=(-1/6)*2=-1/3，故sinA=√(1-1/9)=√(8/9)=2√2/3。面积S=(1/2)*(1/4)*(2√2/3)=√2/12。
公式：S=(1/2)bc sinA, cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
提示：注意a=1。
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