中国科学技术大学 2022年强基第2题
📝 题目
已知 $\mathrm{m}, \mathrm{n} m, n \in N^{*}$ ，求 $\mathrm{m}(\mathrm{n}+9)\left(2 n^{2}+m+9\right)$ 素因子个数的最小值。（20 分）
💡 答案解析
解：当 $m=9, ~ n=3$ 时，原式 $=9 * 12 * 36=2^{4} * 3^{5}$ 只有 2 个素因子 2,3 其次说明不可能只有 1 个素因子 $m$ 与 $2 n^{2}+m+9$ 奇偶性不同，故一奇一偶，原式中有素因子与另一个奇素因子故最小值为 2 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目，寻找可能的最小素因子个数
题目要求求表达式 m(n+9)(2n^2+m+9) 的素因子个数的最小值，其中 m,n 为正整数。
提示：考虑特殊值代入，观察规律。
步骤 2/6
目标：尝试特殊值 m=9, n=3
代入 m=9, n=3，计算得 9*(3+9)*(2*9+9+9)=9*12*36=3888。
公式：9*(3+9)*(2*3^2+9+9)=9*12*36=3888
提示：注意计算准确。
步骤 3/6
目标：分解质因数
3888=2^4 * 3^5，素因子只有2和3，共2个。
公式：3888=2^4 * 3^5
提示：分解时注意指数。
步骤 4/6
目标：证明不可能只有1个素因子
m 与 2n^2+m+9 奇偶性不同，因为 2n^2 为偶数，所以 m 与 m+9 奇偶性相反，故一奇一偶，乘积含因子2。
公式：m 与 2n^2+m+9 奇偶性不同
提示：奇偶性分析是关键。
步骤 5/6
目标：进一步说明至少有两个不同素因子
若只有一个素因子，则所有因子都是该素数的幂，但 m 与 n+9 或 2n^2+m+9 中必有一个奇数，且该奇数不能是2的幂（除非为1），但 m,n 为正整数，故至少有两个不同素因子。
提示：考虑奇因子不为1的情况。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，素因子个数的最小值为2，当 m=9, n=3 时取得。
提示：注意验证是否还有其他可能。
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