中国科学技术大学 2022年强基第3题

解： $\mathrm{f}^{\prime}(x)=4 x^{3}+3 p x^{2}=x^{2}(4 x+3 p)$ $\mathrm{f}(x)$ 在 $\displaystyle \left(-\infty,-\frac{3}{4} p\right)$ 上减，在 $\displaystyle \left(-\frac{3}{4} p,+\infty\right)$ 上增 故 $\displaystyle \mathrm{f}\left(-\frac{3}{4} p\right)=\frac{81}{256} \mathrm{p}^{4}-\frac{27}{64} \mathrm{p}^{4}+\mathrm{q}\gt 0$ 即 $\displaystyle \mathrm{q}\gt \frac{27}{256} p$ （2） $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的增减区间只有 2 段 当 $\displaystyle \mathrm{f}\left(-\frac{3}{4} p\right)=0$ 即 $\displaystyle \mathrm{q}=\frac{27}{256} \mathrm{p}$ ，则 $\mathrm{f}(x)$ 有 4 重根 a 即 $\mathrm{f}(x)=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{4}$ 比较系数知 $a=0$ 所以 $p=q=0$ 当 当 $\displaystyle \mathrm{f}\left(-\frac{3}{4} p\right)\lt 0$ 即 $\displaystyle \mathrm{q}\lt \frac{27}{256} p$ ，则 $\mathrm{f}(x)$ 有 2 个不同根，于是只能一个根 $\alpha$ 是 3 ，另一个根 $\beta$ 为 1 重根 $\mathrm{f}(x)=(x-\alpha)^{3}(x-\beta)$ $\left\{\begin{array}{l}3 \alpha^{2}+3 \alpha \beta=0 \\ 3 \alpha^{2} \beta+\alpha^{3}=0\end{array}\right.$ $\alpha=0, q=\alpha^{3} \beta=0, p=-3 \alpha-\beta \neq 0$ $q=0$