中国科学技术大学 2022年强基第4题
📝 题目
90 位学生参加面试，学生来自 A，B，C三校，其中 A 校 20 人，B 校 30 人，C 校 40 人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽取一位，面试完毕以后在选择下一位面试，求 A 校学生先于其他两校学生完成面试的概率。（20分）
💡 答案解析
解：当 A 校学生先完成面试，则最后一位面试学生来自 BC 校 因为这是无放回抽样模型，每轮面试抽中 A 校概率为 $\displaystyle \frac{2}{9}$ ，抽中 B 校为 $\displaystyle \frac{3}{9}$ 抽中 C 校为 $\displaystyle \frac{4}{9}$ 若最后一人为 $B$ 校学生，则只需考虑 $A B$ 两校面试情况最后是 $C$ 校概率为 $\displaystyle \frac{4}{6}$ ，故 $\displaystyle \frac{3}{9} \times \frac{4}{6}=\frac{2}{9}$ ，同理若最后一人为 $C$校学生，所求概率为 $\displaystyle \frac{4}{9} \times \frac{3}{5}=\frac{4}{15}$ 故总概率为 $\displaystyle \frac{2}{9}+\frac{4}{15}=\frac{22}{45}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题条件
总人数90，A校20人，B校30人，C校40人。无放回随机抽取，求A校学生先于其他两校完成面试的概率，即最后一位面试学生来自B或C校。
提示：注意“先完成”意味着A校学生全部面试完时，B和C校都还有剩余学生。
步骤 2/5
目标：转化为最后一位学生问题
A校先完成等价于最后一位面试学生来自B或C校。因为无放回，所有顺序等可能，只需考虑最后一位的分布。
提示：利用对称性，将问题简化为最后一位学生的来源。
步骤 3/5
目标：计算最后一位是B校的概率
最后一位是B校的概率为30/90=1/3。此时，在最后一位是B的条件下，A校先完成等价于在A和C中最后一位是C（因为B已最后，A需先于C结束）。A和C共60人，最后一位是C的概率为40/60=2/3。故概率为(1/3)*(2/3)=2/9。
公式：P(最后B) = 30/90 = 1/3; P(最后C|最后B) = 40/60 = 2/3
提示：条件概率：在最后一位是B的条件下，剩余60人（A和C）中最后一位是C。
步骤 4/5
目标：计算最后一位是C校的概率
最后一位是C的概率为40/90=4/9。此时，在最后一位是C的条件下，A校先完成等价于在A和B中最后一位是B。A和B共50人，最后一位是B的概率为30/50=3/5。故概率为(4/9)*(3/5)=4/15。
公式：P(最后C) = 40/90 = 4/9; P(最后B|最后C) = 30/50 = 3/5
提示：条件概率：在最后一位是C的条件下，剩余50人（A和B）中最后一位是B。
步骤 5/5
目标：求和得到最终概率
总概率为两种情况之和：2/9 + 4/15 = 10/45 + 12/45 = 22/45。
公式：P = 2/9 + 4/15 = 22/45
提示：注意通分计算。
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