中国科学技术大学 2022年强基第5题
📝 题目
$A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ 是五个矩形区域（边平行于坐标轴），证明：总能找到两个集合，使得剩下三个集合的交集包含于这两个集合并集，例如 $\left(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right) \subset\left(A_{4} \cap A_{5}\right)$ 。（20分）
💡 答案解析
证：首先三个矩形交接非空，否则取这三个集合即可 故由凯莱定理知 $A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5}$ 非空 注意 5 个矩形的交集仍是矩形，其左横坐标是 5 个矩形左横坐标的最大值，其右横坐标是 5 个矩形右横 3 坐标的最小值，无处左横坐标最大，有横坐标最小的 2 个矩形（可能是同一个）（1）再考虑剩下 3 个矩形，考虑纵坐标，删去上纵坐标最大或下纵坐标最小的，取剩下的 1 或 2 个矩形（2），与前面横坐标选出的 1 或 2 个矩形构成 $A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}$ 其他做 $A_{4} \cup A_{5}$ 则 $A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}$ 的横坐标范围包含于 $A_{4}, A_{5}$ 中且 $A_{4}, A_{5}$ 的纵坐标范围覆盖了（2）的纵坐标范围故 $\left(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right) \subset\left(A_{4} \cap A_{5}\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明五个矩形交集非空
若存在三个矩形交集为空，则取这三个矩形即可满足结论。否则，由Helly定理，五个矩形交集非空。
提示：Helly定理：平面上一族凸集，若任意三个有公共点，则全体有公共点。
步骤 2/5
目标：分析横坐标，选出关键矩形
五个矩形交集为矩形，其左边界为各矩形左边最大值，右边界为各矩形右边最小值。取左边界最大的矩形和右边界最小的矩形（可能相同），记为A_i和A_j。
提示：注意矩形边平行于坐标轴，交集仍为矩形。
步骤 3/5
目标：分析纵坐标，选出关键矩形
考虑剩余三个矩形的纵坐标，删去上边界最大或下边界最小的矩形，取剩下的1或2个矩形，记为A_k和A_l。
提示：纵坐标处理类似横坐标，但只需覆盖范围。
步骤 4/5
目标：构造两个集合
令A_1∩A_2∩A_3为横坐标由A_i和A_j决定、纵坐标由A_k和A_l决定的矩形，A_4和A_5为其余矩形。
提示：注意A_1,...,A_5是任意编号，实际需根据选择调整。
步骤 5/5
目标：验证包含关系
A_1∩A_2∩A_3的横坐标范围包含于A_4和A_5的横坐标范围（因A_i和A_j的横坐标极值），纵坐标范围被A_4和A_5的纵坐标覆盖，故交集包含于并集。
提示：利用矩形坐标的单调性。
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