中国科学技术大学 2021年强基第1题
📝 题目
已知正实数 $a$ ，二次函数 $y=a x^{2}-x+1$ ，若任意长度为 I 的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于 1 ，则 $a$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解析：设区间为 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ ，其中 $x_{2}-x_{1}=1$ ，记 $f(x)=a x^{2}-x+1$ ，由对称性，只考虑 $\displaystyle x_{2}+x_{1} \geq \frac{1}{a}$ 的情况，可得 $\displaystyle x_{2} \geq \frac{1}{2}+\frac{1}{2 a}$ ， （i）若 $\displaystyle x_{1} \geq \frac{1}{2 a}$ ，只需 $f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=a\left(1+2 x_{1}\right)-1 \geq 1$ ，可得 $a \geq 1$ ， （ii）若 $\displaystyle x_{1} \leq \frac{1}{2 a}$ ，只需 $\displaystyle f\left(x_{2}\right)-f\left(\frac{1}{2 a}\right)=a\left(x_{2}-\frac{1}{2 a}\right)^{2} \geq 1$ ，可得 $a \geq 4$ ， 所以 $a_{\text {min }}=4$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设区间并利用对称性简化问题
设区间为[x1, x2]，x2-x1=1，f(x)=ax^2-x+1。由对称性，只考虑x1+x2≥1/a的情况，得x2≥1/2+1/(2a)。
公式：x2 - x1 = 1, x1 + x2 ≥ 1/a
提示：对称轴为x=1/(2a)，区间中点需在对称轴右侧。
步骤 2/4
目标：分类讨论：x1≥1/(2a)的情况
若x1≥1/(2a)，则区间在对称轴右侧，函数递增，最大差在端点：f(x2)-f(x1)=a(1+2x1)-1≥1，得a≥1。
公式：f(x2)-f(x1)=a(x2^2-x1^2)-(x2-x1)=a(1+2x1)-1
提示：利用平方差公式简化。
步骤 3/4
目标：分类讨论：x1≤1/(2a)的情况
若x1≤1/(2a)，则区间包含对称轴，最大值在x2处，最小值在顶点处：f(x2)-f(1/(2a))=a(x2-1/(2a))^2≥1，代入x2≥1/2+1/(2a)得a≥4。
公式：f(x2)-f(1/(2a))=a(x2-1/(2a))^2
提示：顶点处函数值最小。
步骤 4/4
目标：综合两种情况得a的最小值
情况(i)得a≥1，情况(ii)得a≥4，取交集得a≥4，故a的最小值为4。
提示：取更严格的条件。
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