中国科学技术大学 2021年强基第2题
📝 题目
已知正实数 $x, y$ 满足 $\displaystyle \frac{8}{x}+\frac{1}{y}=1$ ，则 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解析：由柯西不等式有 $\displaystyle 2 x+y=(2 x+y)\left(\frac{8}{x}+\frac{1}{y}\right) \geq 25$ ， 所以 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{\sqrt{(4+1)\left(x^{2}+y^{2}\right)}}{\sqrt{5}} \geq \frac{2 x+y}{\sqrt{5}} \geq 5 \sqrt{5}$ ，当且仅当 $x=2 y=10$ 取等。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用柯西不等式求2x+y的最小值
由条件式，应用柯西不等式：(2x+y)(8/x+1/y) ≥ (√(2x·8/x)+√(y·1/y))² = (4+1)²=25，故2x+y≥25。
公式：(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²
提示：注意凑配系数使乘积为常数。
步骤 2/3
目标：将√(x²+y²)与2x+y建立不等式关系
由柯西不等式：(4+1)(x²+y²) ≥ (2x+y)²，即5(x²+y²) ≥ (2x+y)²，所以√(x²+y²) ≥ (2x+y)/√5。
公式：√(x²+y²) ≥ (2x+y)/√5
提示：利用(2²+1²)(x²+y²)≥(2x+y)²。
步骤 3/3
目标：代入2x+y的最小值得到√(x²+y²)的最小值
由前两步，√(x²+y²) ≥ (2x+y)/√5 ≥ 25/√5 = 5√5。当且仅当2x/8 = y/1且8/x+1/y=1，解得x=10, y=5时取等。
公式：最小值5√5
提示：验证等号成立条件。
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