中国科学技术大学 2021年强基第3题
📝 题目
已知正实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$ ，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b c$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解析：记 $T=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b c$ ，易知 $T=2 c^{2}-2 c+1+2 a b(c-1)\lt 1$ ， 又 $\displaystyle a b \leq \frac{(1-c)^{2}}{4}$ ，则 $\displaystyle T \geq 2 c^{2}-2 c+1+\frac{(c-1)^{3}}{2}=\frac{(3 c-1)^{2}(3 c+5)}{54}+\frac{11}{27} \geq \frac{11}{27}$ ， 当 $\displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$ ，有 $\displaystyle T=\frac{11}{27}$ ；当 $a \rightarrow 0, b \rightarrow 0, c \rightarrow 1$ ，有 $T \rightarrow 1$ ， 所以可知 $\displaystyle T \in\left[\frac{11}{27}, 1\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入变量并化简表达式
设 T = a² + b² + c² + 2abc，利用 a+b+c=1 消去 a+b，将 T 表示为关于 c 和 ab 的式子。
公式：T = (a+b)² + c² - 2ab + 2abc = (1-c)² + c² + 2ab(c-1) = 2c² - 2c + 1 + 2ab(c-1)
提示：注意 a+b=1-c，且 a²+b²=(a+b)²-2ab。
步骤 2/7
目标：确定上界
由于 c<1，c-1<0，且 ab≥0，所以 2ab(c-1)≤0，因此 T ≤ 2c²-2c+1。当 a→0, b→0, c→1 时，T→1，且 T<1。
公式：T ≤ 2c²-2c+1 < 1
提示：上界1取不到，因为a,b,c为正实数。
步骤 3/7
目标：利用不等式求下界
由均值不等式，ab ≤ ((a+b)/2)² = ((1-c)/2)²，代入T得下界表达式。
公式：ab ≤ (1-c)²/4
提示：当a=b时取等。
步骤 4/7
目标：代入下界并化简
将ab的最大值代入T，得 T ≥ 2c²-2c+1 + 2*(1-c)²/4*(c-1) = 2c²-2c+1 + (c-1)³/2。
公式：T ≥ 2c²-2c+1 + (c-1)³/2
提示：注意(c-1)为负。
步骤 5/7
目标：将下界表达式化为关于c的函数
令 f(c)=2c²-2c+1+(c-1)³/2，展开得 f(c)= (3c-1)²(3c+5)/54 + 11/27。
公式：f(c) = (3c-1)²(3c+5)/54 + 11/27
提示：配方或求导可得到最小值。
步骤 6/7
目标：求最小值并确定下界
由于(3c-1)²≥0，且3c+5>0，所以f(c)≥11/27，当c=1/3时取等。此时a=b=c=1/3，T=11/27。
公式：T ≥ 11/27
提示：等号成立条件：a=b=c=1/3。
步骤 7/7
目标：综合上下界得到取值范围
T的下界为11/27，上界趋近于1但取不到，所以T∈[11/27, 1)。
公式：T ∈ [11/27, 1)
提示：注意端点：11/27可取，1不可取。
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