中国科学技术大学 2021年强基第4题
📝 题目
拋物线 $y=x^{2}$ 上有 $A, B$ 两点，$A B=2$ ，则 $A B$ 中点的轨迹方程为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解析：设 $A\left(a, a^{2}\right), B\left(b, b^{2}\right), A B$ 中点为 $(x, y)$ ， 则有 $A B^{2}=(a-b)^{2}\left[1+(a+b)^{2}\right]=4$ ，且 $a+b=2 x, 4 y=(a-b)^{2}+(a+b)^{2}$ ， 化简可得 $\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{1+4 x^{2}}$ ，所以 $A B$ 中点的轨迹方程为 $\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{1+4 x^{2}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设点坐标和中点坐标
设A(a, a²), B(b, b²)，AB中点为(x, y)，则x=(a+b)/2, y=(a²+b²)/2。
公式：中点坐标公式
提示：利用抛物线方程设点，减少未知数。
步骤 2/6
目标：利用弦长公式建立方程
AB²=(a-b)²+(a²-b²)²=(a-b)²[1+(a+b)²]=4，因为AB=2。
公式：两点间距离公式
提示：因式分解简化表达式。
步骤 3/6
目标：用中点坐标表示a+b和a-b
由中点坐标得a+b=2x，且(a-b)²=2(a²+b²)-(a+b)²=4y-4x²。
公式：平方关系
提示：利用(a-b)²=(a+b)²-4ab，但此处用平方和更直接。
步骤 4/6
目标：代入弦长方程化简
代入得(4y-4x²)[1+4x²]=4，即4(y-x²)(1+4x²)=4。
公式：代入法
提示：注意系数化简。
步骤 5/6
目标：解出y关于x的表达式
两边除以4得(y-x²)(1+4x²)=1，所以y=x²+1/(1+4x²)。
公式：代数变形
提示：分离变量得到轨迹方程。
步骤 6/6
目标：写出轨迹方程
AB中点的轨迹方程为y=x²+1/(1+4x²)。
提示：注意定义域为全体实数。
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