中国科学技术大学 2021年强基第5题
📝 题目
投掷一个均匀的骰子（各面为 1－6） n 次，记该过程中出现的最大数字为 $X$ ，则 $E(X)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解析：易知 $\displaystyle P(X \leq k)=\left(\frac{k}{6}\right)^{n}, k=1,2, \cdots, 6$ ， 所以 $\displaystyle P(X=k)=P(X \leq k)-P(X \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^{n}-\left(\frac{k-1}{6}\right)^{n}$ ， 则有 $\displaystyle E(X)=\sum_{k=1}^{6} k P(X=k)=\sum_{k=1}^{6} k\left[\left(\frac{k}{6}\right)^{n}-\left(\frac{k-1}{6}\right)^{n}\right]=6-\frac{1+2^{n}+3^{n}+4^{n}+5^{n}}{6^{n}}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定随机变量X的分布
由于骰子均匀，每次投掷结果独立。最大数字X不超过k等价于每次投掷点数≤k，概率为(k/6)^n。
公式：P(X ≤ k) = (k/6)^n, k=1,...,6
提示：利用分布函数定义，将事件转化为每次投掷的条件。
步骤 2/6
目标：计算X的概率质量函数
由分布函数差值得P(X=k)=P(X≤k)-P(X≤k-1)=(k/6)^n - ((k-1)/6)^n。
公式：P(X=k) = (k/6)^n - ((k-1)/6)^n
提示：注意k=1时，P(X≤0)=0。
步骤 3/6
目标：写出期望表达式
期望E(X)=∑_{k=1}^6 k·P(X=k)，代入概率质量函数。
公式：E(X) = ∑_{k=1}^6 k[(k/6)^n - ((k-1)/6)^n]
提示：直接求和较复杂，考虑化简。
步骤 4/6
目标：化简期望表达式
将求和拆开并重新组合：E(X)=∑_{k=1}^6 k(k/6)^n - ∑_{k=1}^6 k((k-1)/6)^n。令j=k-1，第二项变为∑_{j=0}^5 (j+1)(j/6)^n。
公式：E(X) = ∑_{k=1}^6 k(k/6)^n - ∑_{j=0}^5 (j+1)(j/6)^n
提示：注意j=0时项为0，可忽略。
步骤 5/6
目标：进一步化简
两式相减得E(X)=6·(6/6)^n - ∑_{k=1}^5 (k/6)^n = 6 - (1^n+2^n+3^n+4^n+5^n)/6^n。
公式：E(X) = 6 - (1+2^n+3^n+4^n+5^n)/6^n
提示：利用∑_{k=1}^6 k(k/6)^n - ∑_{k=1}^5 (k+1)(k/6)^n = 6·1^n - ∑_{k=1}^5 (k/6)^n。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此期望为6减去1到5的n次幂之和除以6的n次方。
公式：E(X) = 6 - (1+2^n+3^n+4^n+5^n)/6^n
提示：结果简洁，可验证n=1时E(X)=3.5。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。