中国科学技术大学 2021年强基第6题
📝 题目
有边长为 1 的正 $\triangle A B C, D$ 在边 $A B$ 上，$E$ 在边 $A C$ 上，$D E$ 平行 $B C$ ，沿 $D E$ 折起三角形，求所成四棱雉 $A-D E B C$ 的体积的最大值。
💡 答案解析
解析：如图所示，设线段 $D E$ 中点为 $F, D E=t$ ，则有 $\displaystyle A F=\frac{\sqrt{3}}{2} t$ ，所以 $\displaystyle S_{B C D E}=\frac{\sqrt{3}\left(1-t^{2}\right)}{4}$ ，则有 $\displaystyle V_{A-B C D E} \leq \frac{1}{3} A F \cdot S_{B C D E}=\frac{t\left(1-t^{2}\right)}{8} \leq \frac{\sqrt{2\left(\frac{2 t^{2}+1-t^{2}+1-t^{2}}{3}\right)^{3}}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{36}$ 
当且仅当 $\displaystyle t=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 取到等号，所以四棱雉 $A-D E B C$ 体积的最大值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{36}$ 。
当且仅当 $\displaystyle t=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 取到等号，所以四棱雉 $A-D E B C$ 体积的最大值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{36}$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设变量并表达相关量
设DE中点为F，DE=t，则AF=√3/2 t，梯形BCDE面积S=√3(1-t²)/4。
公式：AF = √3/2 t, S = √3(1-t²)/4
提示：利用等边三角形性质及相似比
步骤 2/4
目标：建立体积表达式
四棱锥体积V=1/3 * AF * S = t(1-t²)/8。
公式：V = t(1-t²)/8
提示：注意高为AF
步骤 3/4
目标：利用不等式求最大值
由均值不等式，t(1-t²) ≤ 2√3/9，故V ≤ √3/36。
公式：t(1-t²) ≤ 2√3/9
提示：可设t²=x，用三次函数或均值不等式
步骤 4/4
目标：确定取等条件
当t=√3/3时取等，此时体积最大为√3/36。
公式：t = √3/3
提示：验证t在(0,1)内
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