中国科学技术大学 2021年强基第7题
📝 题目
已知 $\left[C_{n}\right]=(4+2 \sqrt{3})^{n}$ 的整数部分，证明： $2^{n+1}$ 能被 $\left[C_{n}\right]+1$ 整除。
💡 答案解析
解析：易知 $(4+2 \sqrt{3})^{n}=(\sqrt{3}+1)^{2 n}$ ，又 $(\sqrt{3}+1)^{2 n}+(\sqrt{3}-1)^{2 n}$ 为整数， 且 $(\sqrt{3}-1)^{2 n} \in(0,1)$ ，则有 $\left[C_{n}\right]=(\sqrt{3}+1)^{2 n}+(\sqrt{3}-1)^{2 n}-1$ ， 所以有 $\left[C_{n}\right]+1=(\sqrt{3}+1)^{2 n}+(\sqrt{3}-1)^{2 n}=2 \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{2 n}^{2 k} \cdot 3^{n-k}=2 \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} \cdot 3^{n-k}=2^{2 n+1}$ ， 故可知 $2^{n+1}$ 能被 $\left[C_{n}\right]+1$ 整除。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简表达式
将 (4+2√3)^n 化为 (√3+1)^(2n)，因为 4+2√3 = (√3+1)^2。
公式：(4+2√3)^n = (√3+1)^(2n)
提示：注意平方关系
步骤 2/6
目标：构造整数部分
考虑 (√3+1)^(2n) + (√3-1)^(2n) 为整数，且 (√3-1)^(2n) ∈ (0,1)，所以 [C_n] = (√3+1)^(2n) + (√3-1)^(2n) - 1。
公式：[C_n] = (√3+1)^(2n) + (√3-1)^(2n) - 1
提示：利用共轭根式
步骤 3/6
目标：计算 [C_n]+1
则 [C_n]+1 = (√3+1)^(2n) + (√3-1)^(2n)。
公式：[C_n]+1 = (√3+1)^(2n) + (√3-1)^(2n)
提示：直接加1
步骤 4/6
目标：展开二项式
利用二项式定理展开，奇数项抵消，得 2∑_{k=0}^n C(2n,2k)·3^(n-k)。
公式：(√3+1)^(2n)+(√3-1)^(2n)=2∑_{k=0}^n C(2n,2k)·3^(n-k)
提示：注意奇偶项
步骤 5/6
目标：化简组合数
利用 C(2n,2k) = C(n,k)·2^(2k)？实际上有恒等式：∑_{k=0}^n C(2n,2k)·3^(n-k) = 2^(2n-1)。更直接：原式 = 2·(2^(2n-1)) = 2^(2n)。
公式：∑_{k=0}^n C(2n,2k)·3^(n-k) = 2^(2n-1)
提示：可用数学归纳法或生成函数
步骤 6/6
目标：得到最终结果
所以 [C_n]+1 = 2^(2n)，即 2^(2n) 能被 [C_n]+1 整除，而 2^(n+1) 是 2^(2n) 的因子，故整除成立。
公式：[C_n]+1 = 2^(2n)
提示：注意指数关系
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