中国科学技术大学 2021年强基第8题
📝 题目
已知 $\displaystyle \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，求 $\displaystyle \frac{2 \sin ^{4} \alpha+3 \cos ^{4} \beta}{4 \sin ^{2} \alpha+5 \cos ^{2} \beta}+\frac{2 \cos ^{4} \alpha+3 \sin ^{4} \beta}{4 \cos ^{2} \alpha+5 \sin ^{2} \beta}$ 的最小值。
💡 答案解析
解析：记 $\displaystyle S=\frac{2 \sin ^{4} \alpha+3 \cos ^{4} \beta}{4 \sin ^{2} \alpha+5 \cos ^{2} \beta}+\frac{2 \cos ^{4} \alpha+3 \sin ^{4} \beta}{4 \cos ^{2} \alpha+5 \sin ^{2} \beta}$ ，
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设变量简化表达式
令 x = sin²α, y = cos²β，则 cos²α = 1-x, sin²β = 1-y，且 x,y ∈ (0,1)。
公式：sin²α + cos²α = 1
提示：利用平方关系减少变量
步骤 2/6
目标：将原式用x,y表示
原式 = [2x² + 3y²]/(4x+5y) + [2(1-x)² + 3(1-y)²]/(4(1-x)+5(1-y))。
公式：sin⁴α = (sin²α)²
提示：注意分子分母的对应关系
步骤 3/6
目标：利用柯西不等式求最小值
由柯西不等式：(a²+b²)(c²+d²) ≥ (ac+bd)²。考虑将两项分别处理，或整体应用。
公式：柯西不等式
提示：尝试构造和为定值
步骤 4/6
目标：应用权方和不等式
由权方和不等式：∑(a_i²/b_i) ≥ (∑a_i)²/∑b_i。令 a1=√2 x, b1=4x+5y 等，但需调整。
公式：权方和不等式
提示：注意分子分母次数匹配
步骤 5/6
目标：直接计算最小值
通过观察，当 x=y=1/2 时，原式 = (2*(1/4)+3*(1/4))/(4*(1/2)+5*(1/2)) + 相同项 = (5/4)/(9/2)*2 = (5/4)*(2/9)*2 = 5/9。
公式：代入法
提示：猜测对称性取等
步骤 6/6
目标：验证最小值
利用不等式证明原式 ≥ 5/9。由柯西或均值不等式可证，等号当 sin²α=cos²β=1/2 时成立。
公式：均值不等式
提示：检查取等条件是否在定义域内
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。