中国科学技术大学 2021年强基第9题
📝 题目
已知 $f(x), g(x), h(x)$ 为实系数多项式，且两两互素，有 $[f(x)]^{n}+[g(x)]^{n}=[h(x)]^{n}, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，证明：$n$ 只能是 1 或 2 。
💡 答案解析
解析：这可以看成是费马大定理在多项式中的情况， 我们可以用 Mason－Stothers 定理来解决这道题， 对任意的多项式 $F$ ，我们用 $n_{0}(F)$ 表示 $F$ 的互不相同的根的个数，即如果有重根的话，则不考虑其重数，都只记一次， Mason－Stothers 定理假设 $f, g, h$ 是 3 个互素的多项式，并且 $f+g=h$ ，那么 $\max (\operatorname{deg}(f), \operatorname{deg}(g), \operatorname{deg}(h)) \leq n_{0}(f g h)-1$, 证明：令 $\displaystyle F=\frac{f}{h}, G=\frac{g}{h}$ ，则 $F+G=1$ ．两边求导可得 $F^{\prime}+G^{\prime}=0$ ．所以 $$ \frac{F^{\prime}}{F} F+\frac{G^{\prime}}{G} G=0, $$ 即 $$ \frac{g}{h}=\frac{G}{F}=-\frac{F^{\prime} / F}{G^{\prime} / G}, $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将问题转化为Mason-Stothers定理的形式
由题意，f^n + g^n = h^n，且f,g,h两两互素。令F = (f/h)^n, G = (g/h)^n，则F+G=1。但Mason-Stothers定理要求f+g=h的形式，因此需先处理指数n。
公式：F = (f/h)^n, G = (g/h)^n, F+G=1
提示：注意f,g,h互素，但F,G可能不是多项式，需进一步处理。
步骤 2/6
目标：应用Mason-Stothers定理
考虑多项式f^n, g^n, h^n，它们满足f^n + g^n = h^n，且两两互素。由Mason-Stothers定理，max(deg(f^n), deg(g^n), deg(h^n)) ≤ n0(f^n g^n h^n) - 1。
公式：max(deg(f^n), deg(g^n), deg(h^n)) ≤ n0(f^n g^n h^n) - 1
提示：n0表示不同根的个数，重根只计一次。
步骤 3/6
目标：计算各多项式的次数和不同根个数
deg(f^n)=n deg(f)，类似。n0(f^n g^n h^n) = n0(fgh)，因为重根不影响不同根计数。设d = max(deg(f), deg(g), deg(h))，则左边≥ n d，右边≤ n0(fgh) - 1。
公式：n d ≤ n0(fgh) - 1
提示：n0(fgh) ≤ deg(f)+deg(g)+deg(h) ≤ 3d。
步骤 4/6
目标：推导n的上界
由n d ≤ n0(fgh)-1 ≤ deg(f)+deg(g)+deg(h)-1 ≤ 3d-1，得n ≤ 3 - 1/d。由于d≥1，n为整数，故n≤2。
公式：n ≤ 3 - 1/d
提示：d≥1时，n只能为1或2。
步骤 5/6
目标：验证n=1和n=2的可能性
n=1时，f+g=h，显然成立。n=2时，存在勾股数多项式，如f=x, g=1, h=√(x^2+1)不是多项式，但存在非平凡解，例如f=2x, g=x^2-1, h=x^2+1。
公式：f^2+g^2=h^2
提示：n=2时需构造例子说明存在性。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，满足条件的n只能是1或2。
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