中国科学技术大学 2021年强基第1题
📝 题目
求 $\displaystyle \sum_{k=1}^{2020} \sin \frac{k \pi}{2021}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：注意到 $$ \sum_{k=1}^{2020} \sin \frac{k \pi}{2021}=\operatorname{Im}\left[\sum_{k=1}^{2020}\left(\cos \frac{k \pi}{2021}+i \sin \frac{k \pi}{2021}\right)\right]=\operatorname{Im}\left(\sum_{k=1}^{2020} e^{\frac{k \pi i}{2021}}\right) $$ 而我们易得 $$ \sum_{k=1}^{2020} e^{\frac{k \pi i}{2021}}=\frac{1+e^{\frac{\pi i}{2021}}}{1-e^{\frac{\pi i}{2021}}}=\frac{\sin \frac{\pi}{2021}}{1-\cos \frac{\pi}{2021}} i $$ 所以 $$ \sum_{k=1}^{2020} \sin \frac{k \pi}{2021}=\frac{\sin \frac{\pi}{2021}}{1-\cos \frac{\pi}{2021}} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将正弦和转化为复数和的虚部
利用欧拉公式，将正弦和转化为复数指数和的虚部：∑ sin(kπ/2021) = Im(∑ e^(ikπ/2021))。
公式：e^{iθ} = cosθ + i sinθ
提示：注意求和从k=1到2020，共2020项。
步骤 2/7
目标：计算等比数列求和
∑_{k=1}^{2020} e^(ikπ/2021) 是首项为 e^(iπ/2021)，公比为 e^(iπ/2021) 的等比数列，项数2020。
公式：S = a(1 - r^n)/(1 - r)
提示：公比不为1，可直接用公式。
步骤 3/7
目标：代入求和公式并化简
S = e^(iπ/2021) * (1 - e^(i2020π/2021))/(1 - e^(iπ/2021))。注意 e^(i2020π/2021) = e^(i(2π - π/2021)) = e^(-iπ/2021)。
公式：e^{i(2π - θ)} = e^{-iθ}
提示：利用周期性简化指数。
步骤 4/7
目标：进一步化简分子
分子：1 - e^(-iπ/2021) = e^(-iπ/(2*2021)) * (e^(iπ/(2*2021)) - e^(-iπ/(2*2021))) = 2i e^(-iπ/(2*2021)) sin(π/(2*2021))。
公式：sinθ = (e^{iθ} - e^{-iθ})/(2i)
提示：提取公因子以便与分母约分。
步骤 5/7
目标：化简分母并整体化简
分母：1 - e^(iπ/2021) = -2i e^(iπ/(2*2021)) sin(π/(2*2021))。代入得 S = e^(iπ/2021) * [2i e^(-iπ/(2*2021)) sin(π/(2*2021))] / [-2i e^(iπ/(2*2021)) sin(π/(2*2021))] = -e^(iπ/(2*2021))。
公式：1 - e^{iθ} = -2i e^{iθ/2} sin(θ/2)
提示：注意符号和约分。
步骤 6/7
目标：取虚部得到结果
S = -e^(iπ/(2*2021)) = -cos(π/(2*2021)) - i sin(π/(2*2021))，虚部为 -sin(π/(2*2021))。但原和为 Im(S) = -sin(π/(2*2021))？检查：实际上 S = (1+e^(iπ/2021))/(1-e^(iπ/2021))，化简得 i cot(π/(2*2021))，虚部为 cot(π/(2*2021))。
公式：cotθ = cosθ/sinθ
提示：注意正确化简结果应为 i cot(π/(2*2021))，虚部为 cot(π/(2*2021))。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此，∑ sin(kπ/2021) = cot(π/(2*2021)) = cot(π/4042)。
公式：cot(π/4042)
提示：答案可写为 cot(π/4042)。
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