中国科学技术大学 2021年强基第2题
📝 题目
设抛物线 $y=x^{2}$ 与 $x=a y^{2}+1$ 相切，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：设两者在 $x=x_{0}$ 处相切，显然 $a\gt 0, x_{1}$ ，问题等价于曲线 $y=x^{2}$ 与 $\displaystyle y=\sqrt{\frac{x-1}{a}}$ 在 $x=x_{0}$ 处相切，因此有 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{0}^{2}=\sqrt{\frac{x_{0}-1}{a}} \\ 2 x_{0}=\frac{1}{2 \sqrt{a\left(x_{0}-1\right)}} \end{array}\right. $$ 两式相除得 $\displaystyle \frac{x_{0}}{2}=2\left(x_{0}-1\right) \Rightarrow x_{0}=\frac{4}{3}$ ，从而可得 $\displaystyle a=\frac{27}{256}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析相切条件，确定参数范围
由于抛物线y=x^2开口向上，而x=ay^2+1可化为y=±√((x-1)/a)，相切时取正分支，且a>0。
提示：注意相切时两曲线有公共点且切线斜率相等。
步骤 2/4
目标：设切点坐标，建立方程组
设切点横坐标为x0，则纵坐标满足y0=x0^2，且y0=√((x0-1)/a)。同时导数相等：2x0 = 1/(2√(a(x0-1)))。
公式：x0^2 = √((x0-1)/a), 2x0 = 1/(2√(a(x0-1)))
提示：注意对x=ay^2+1求导时，先化为y关于x的函数再求导。
步骤 3/4
目标：消去参数a，求解x0
将两式相除：左边除以右边得 (x0^2)/(2x0) = √((x0-1)/a) * 2√(a(x0-1))，化简得 x0/2 = 2(x0-1)，解得x0=4/3。
公式：x0/2 = 2(x0-1) ⇒ x0=4/3
提示：相除时注意两边同时除以，避免丢失解。
步骤 4/4
目标：代入求a
将x0=4/3代入任一方程，例如代入导数方程：2*(4/3)=1/(2√(a(4/3-1)))，即8/3=1/(2√(a/3))，解得√(a/3)=3/16，故a=27/256。
公式：a = 27/256
提示：注意计算时保持分数形式，避免小数误差。
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