中国科学技术大学 2021年强基第3题
📝 题目
写出一个函数 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ，使得 $f(x-f(y))=f(f(y))+2 x f(y)+f(x)-1$ 对于任意的 $x, y \in R$ 恒成立。
💡 答案解析
解：用 $f_{2}(x)$ 表示两次迭代即 $f_{2}(x)=f(f(x))$ ，则令 $f(x) \rightarrow x, x \rightarrow y$ 有 $$ f(0)=f_{2}(x)+2 f^{2}(x)+f_{2}(x)-1 \Rightarrow f_{2}(x)=-f^{2}(x)+\frac{f(0)}{2}+\frac{1}{2} $$ 令 $f(x) \rightarrow x, y \rightarrow y$ 有 $$ \begin{aligned} f(f(x)-f(y)) & =f_{2}(y)+2 f(x) f(y)+f_{2}(x)-1 \\ & =\left[-f^{2}(y)+\frac{f(0)}{2}+\frac{1}{2}\right]+2 f(x) f(y)+\left[-f^{2}(x)+\frac{f(0)}{2}+\frac{1}{2}\right]-1 \end{aligned} $$ $$ =-[f(x)-f(y)]^{2}+f(0) $$ 再令 $\displaystyle \frac{x-f_{2}(u)}{2 f(u)} \rightarrow x, u \rightarrow y$ 有 $$ f\left(\frac{x-f_{2}(u)}{2 f(u)}-f(u)\right)-f\left(\frac{x-f_{2}(u)}{2 f(u)}\right)+1=x, $$ 这说明任意的 $x$ 都能用 $f(s)-f(t)+1$ 的形式表示，所以有
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入符号并代入特殊值
令 f₂(x)=f(f(x))，将原式中的 x 替换为 f(x)，y 替换为 x，得到 f(0)=f₂(x)+2f(x)²+f₂(x)-1，化简得 f₂(x)=-f(x)²+(f(0)+1)/2。
公式：f(0)=f₂(x)+2f(x)²+f₂(x)-1 ⇒ f₂(x)=-f(x)²+\frac{f(0)+1}{2}
提示：注意 f₂(x) 表示两次迭代，代入时小心符号。
步骤 2/7
目标：推导 f(f(x)-f(y)) 的表达式
在原式中令 x→f(x)，y→y，得 f(f(x)-f(y))=f₂(y)+2f(x)f(y)+f₂(x)-1。代入 f₂ 表达式，化简得 f(f(x)-f(y))=-[f(x)-f(y)]²+f(0)。
公式：f(f(x)-f(y))=-[f(x)-f(y)]²+f(0)
提示：利用上一步的 f₂ 表达式进行替换。
步骤 3/7
目标：猜测函数形式并验证
由 f(f(x)-f(y)) 的形式，猜测 f(x)=x²+c 或 f(x)=x+c。代入验证：若 f(x)=x²+c，则 f(f(x)-f(y)) 不满足；若 f(x)=x+c，则左边为 x-y+c，右边为 -(x-y)²+f(0)，不恒等。需进一步分析。
公式：无
提示：尝试常见函数形式，但注意可能不是简单多项式。
步骤 4/7
目标：利用恒等式求 f(0)
在原式中令 x=y=0，得 f(0-f(0))=f(f(0))+2·0·f(0)+f(0)-1，即 f(-f(0))=f₂(0)+f(0)-1。又由第一步，f₂(0)=-f(0)²+(f(0)+1)/2，代入得 f(-f(0))=-f(0)²+ (3f(0)-1)/2。
公式：f(-f(0))=-f(0)²+\frac{3f(0)-1}{2}
提示：注意 f₂(0)=f(f(0))。
步骤 5/7
目标：再次代入特殊值求解 f(0)
在 f(f(x)-f(y))=-[f(x)-f(y)]²+f(0) 中令 x=y，得 f(0)=f(0)，恒成立。再令 x 使 f(x)=0，设 a 满足 f(a)=0，则代入得 f(0-a)=f(0)-a²，即 f(-a)=f(0)-a²。结合其他条件可解出 f(0)=1。
公式：f(0)=1
提示：需要假设存在 a 使得 f(a)=0，但由原式可证 f 是满射？实际上可令 y 使 f(y)=0。
步骤 6/7
目标：确定函数形式
由 f(0)=1，则 f₂(x)=-f(x)²+1。代入原式得 f(x-f(y))=f(f(y))+2xf(y)+f(x)-1。令 y 使 f(y)=t，则 f(x-t)=f(t)+2xt+f(x)-1。交换 x,t 得 f(t-x)=f(x)+2tx+f(t)-1，两式相加得 f(x-t)+f(t-x)=2f(x)+2f(t)+2xt-2。令 x=t 得 f(0)+f(0)=4f(x)+2x²-2，即 2=4f(x)+2x²-2，解得 f(x)=1-x²。
公式：f(x)=1-x²
提示：注意利用对称性和恒等式。
步骤 7/7
目标：验证解的正确性
将 f(x)=1-x² 代入原式：左边 f(x-f(y))=1-(x-(1-y²))²=1-(x-1+y²)²，右边 f(f(y))+2xf(y)+f(x)-1=1-(1-y²)²+2x(1-y²)+1-x²-1=1-(1-2y²+y⁴)+2x-2xy²-x²=2y²-y⁴+2x-2xy²-x²。化简左边得 1-(x²-2x+1+2xy²-2y²+y⁴)=2x-2xy²+2y²-x²-y⁴，与右边相等。
公式：验证等式成立
提示：代入后仔细化简，确保恒等。
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