中国科学技术大学 2021年强基第4题
📝 题目
设空间区域 $\left\{(x, y, x) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, z \geqslant 0\right\}$ 中存在四个点两两距离都是 $d$ ，则 $d$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解；问题等价于求能放进单位半球内的正四面体的棱长最大值，不妨设正四面体的顶点 $A$为 $z$ 坐标最大的顶点，我们首先考虑底面 $\triangle B C D$ 在平面 $x o y$ 上的情形，此时易得正四面体 $A-B C D$的最大边长为 $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，高为 1 ， 当底面 $\triangle B C D$ 不在平面 $x O y$ 上时，此时显然有正四面体 $A-B C D$ 的高 $h\lt 1$ ，进而棱长小于 $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，故 $d$ 的最大值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题：半球内找四个点两两距离最大
问题等价于求能放进单位半球（x²+y²+z²≤1, z≥0）内的正四面体的最大棱长d。
提示：四个点两两距离相等即构成正四面体。
步骤 2/5
目标：假设正四面体顶点A在最高点
设正四面体A-BCD，A的z坐标最大。先考虑底面BCD在平面xOy上的情形。
提示：底面在半球底面时可能取得最大棱长。
步骤 3/5
目标：计算底面在xOy时的棱长
此时正四面体高h=1（半球半径），由正四面体性质：h = √(2/3) * a，其中a为棱长。解得a = √(3/2) * h = √(3/2) = √6/2。
公式：h = √(2/3) * a
提示：正四面体高与棱长关系。
步骤 4/5
目标：验证底面不在xOy时的情况
若底面不在xOy上，则正四面体的高h<1（因为顶点A在半球内，底面在半球内，高小于半径），故棱长a = √(3/2) * h < √6/2。
提示：高越小，棱长越小。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此最大棱长为√6/2，即d的最大值为√6/2。
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