中国科学技术大学 2021年强基第5题
📝 题目
设 $k$ 个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位， $k \geq 3$ ，若初始时球在甲手中，则第 $n$ 次传球之后，球又回到甲手中地概率为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：不妨记初始时球在甲手中，则第 $n$ 次传球之后，球又回到甲手中的概率为 $P_{n}$ ，则 $P_{0}=0$ 且 $n$次传球传不到甲手上的概率为 $1-P_{n}$ ，同时球在第 $n+1$ 次传回甲手中只可能是第 $n$ 次球传到了其余的 $k-1$ 个人手中然后再传给了甲，从而我们有 $$ P_{n+1}=\frac{1}{k-1}\left(1-P_{n}\right), P_{0}=0 $$ 解得 $$ P_{n}=\frac{(-1)^{n}+(k-1)^{n-1}}{k(k-1)^{n-1}} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义概率变量
设第n次传球后球回到甲手中的概率为P_n，初始时球在甲手中，故P_0=0。
公式：P_0 = 0
提示：明确初始条件
步骤 2/6
目标：建立递推关系
第n+1次传球后球回到甲手中，需第n次球不在甲手中（概率1-P_n），且第n+1次传给甲（概率1/(k-1)）。
公式：P_{n+1} = (1-P_n)/(k-1)
提示：注意传球是等可能传给其他人
步骤 3/6
目标：求解递推关系
将递推式化为标准形式：P_{n+1} = -1/(k-1) P_n + 1/(k-1)。
公式：P_{n+1} + a = -1/(k-1)(P_n + a)
提示：待定系数法求通解
步骤 4/6
目标：求特解和通解
设特解P_n = c，代入得c = 1/k。齐次解为A*(-1/(k-1))^n，通解P_n = A*(-1/(k-1))^n + 1/k。
公式：P_n = A*(-1/(k-1))^n + 1/k
提示：利用初始条件确定A
步骤 5/6
目标：代入初始条件
由P_0=0得0 = A + 1/k，所以A = -1/k。
公式：A = -1/k
提示：P_0=0是关键
步骤 6/6
目标：得到最终表达式
代入A得P_n = [(-1)^n + (k-1)^{n-1}] / [k(k-1)^{n-1}]。
公式：P_n = \frac{(-1)^n + (k-1)^{n-1}}{k(k-1)^{n-1}}
提示：化简时注意指数
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