中国科学技术大学 2021年强基第6题
📝 题目
求函数 $\displaystyle f(x)=5+6 \cos x-3 \cos ^{2} x-4 \cos ^{3} x+\frac{1}{4} \sin \frac{3 x}{2}$ 的取值范围。
💡 答案解析
解：令 $g(x)=6 x-3 x^{2}-4 x^{3},-1 \leqslant x \leqslant 1$ ，则 $g^{\prime}(x)=-6\left(2 x^{2}+x-1\right)=-6(2 x-1)(x+1)$ ，从而 $$ g(x)_{\min }=g(-1)=-5, g(x)_{\max }=g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4} $$ 从而 $6 \cos x-3 \cos ^{2} x-4 \cos ^{3}$ 在 $x=\pi$ 时取最小值 -5 ，在 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$ 时取最大值 $\displaystyle \frac{7}{4}$ ．另一方面，我们注意到显然 $\displaystyle \frac{1}{4} \sin \frac{3 x}{2}$ 在 $x=\pi$ 时取最小值 $\displaystyle -\frac{1}{4}$ ，在 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$ 时取最大值 $\displaystyle \frac{1}{4}$ ．这说明 $$ f(x)_{\min }=f(\pi)=5+(-5)+\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4}, f(x)_{\max }=f\left(\frac{\pi}{3}\right)=5+\frac{7}{4}+\frac{1}{4}=7 $$ 从而有 $$ f(x) \in\left[-\frac{1}{4}, 7\right] $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简函数表达式
令 t = cos x，则原函数化为 f(x) = 5 + 6t - 3t^2 - 4t^3 + (1/4) sin(3x/2)，其中 t ∈ [-1, 1]。
公式：t = cos x
提示：注意三角函数的取值范围
步骤 2/7
目标：分析多项式部分的最值
令 g(t) = 6t - 3t^2 - 4t^3，求导得 g'(t) = -6(2t^2 + t - 1) = -6(2t-1)(t+1)，令导数为0得 t = 1/2 或 t = -1。
公式：g'(t) = -6(2t-1)(t+1)
提示：注意定义域为[-1,1]
步骤 3/7
目标：计算多项式部分的最值
计算端点及极值点：g(-1) = -5，g(1/2) = 7/4，g(1) = -1。所以 g(t) 在 t=-1 取最小值-5，在 t=1/2 取最大值7/4。
公式：g(-1) = -5, g(1/2) = 7/4
提示：比较端点与极值点
步骤 4/7
目标：分析正弦部分的最值
考虑 h(x) = (1/4) sin(3x/2)。当 x = π 时，3x/2 = 3π/2，sin = -1，h最小为 -1/4；当 x = π/3 时，3x/2 = π/2，sin = 1，h最大为 1/4。
公式：h(x) = (1/4) sin(3x/2)
提示：注意与多项式部分取最值的x相同
步骤 5/7
目标：合并求函数最小值
当 x = π 时，cos x = -1，多项式部分取最小值-5，正弦部分取最小值-1/4，所以 f(π) = 5 - 5 - 1/4 = -1/4。
公式：f(π) = -1/4
提示：验证两部分同时取最小
步骤 6/7
目标：合并求函数最大值
当 x = π/3 时，cos x = 1/2，多项式部分取最大值7/4，正弦部分取最大值1/4，所以 f(π/3) = 5 + 7/4 + 1/4 = 7。
公式：f(π/3) = 7
提示：验证两部分同时取最大
步骤 7/7
目标：得出取值范围
函数 f(x) 的最小值为 -1/4，最大值为 7，因此取值范围为 [-1/4, 7]。
公式：f(x) ∈ [-1/4, 7]
提示：注意闭区间
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