中国科学技术大学 2021年强基第7题
📝 题目
设 $a, b, c$ 是正整数，$p$ 是素数，$p \geqslant 5$ 且 $p$ 整除 $\displaystyle a^{\frac{p-1}{2}}+b^{\frac{p-1}{2}}+c^{\frac{p-1}{2}}$ ，证明：$p$ 整除 $a b c$ 。
💡 答案解析
解：［反证法］假设 $p$ 不整除 $a b c$ ，则 $p \nmid a, p \nmid b$ 且 $p \nmid c$ 。由二次剩余类的欧拉准则：若 $x \nmid p$ ，则 $$ x^{\frac{p-1}{2}} \equiv\left\{\begin{array}{c} 1(\bmod p), \exists y \text { 使得 } y^{2} \equiv x(\bmod p) \\ -1(\bmod p), \nexists y \text { 使得 } y^{2} \equiv x(\bmod p) \end{array}\right. $$ 得到在模 $p$ 意义下有 $$ a^{\frac{p-1}{2}}+b^{\frac{p-1}{2}}+c^{\frac{p-1}{2}} \in\{-3,-1,1,3\} $$ 而 $p>3$ ，显然有 $\displaystyle p \nmid a^{\frac{p-1}{2}}+b^{\frac{p-1}{2}}+c^{\frac{p-1}{2}}$ ，与假设矛盾，故 $p \mid a b c$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设p不整除abc，推出矛盾
用反证法，假设p不整除abc，则p不整除a、b、c中的任何一个。
提示：反证法是处理整除问题的常用方法。
步骤 2/5
目标：应用欧拉准则
由欧拉准则，对于不被p整除的整数x，x^((p-1)/2) ≡ 1或-1 (mod p)，取决于x是否为模p的二次剩余。
公式：x^{\frac{p-1}{2}} \equiv \begin{cases} 1 \pmod{p} & \text{若 } x \text{ 是二次剩余} \\ -1 \pmod{p} & \text{若 } x \text{ 不是二次剩余} \end{cases}
提示：欧拉准则将幂次计算转化为二次剩余判断。
步骤 3/5
目标：确定三个幂次之和的可能取值
每个a^((p-1)/2), b^((p-1)/2), c^((p-1)/2)模p只能是1或-1，因此它们的和模p只能是-3, -1, 1, 3之一。
公式：a^{\frac{p-1}{2}}+b^{\frac{p-1}{2}}+c^{\frac{p-1}{2}} \equiv -3,-1,1,3 \pmod{p}
提示：注意三个±1相加的结果只有四种可能。
步骤 4/5
目标：利用p≥5推出矛盾
由于p≥5，p不可能整除-3,-1,1,3中的任何一个，这与已知p整除该和矛盾。
提示：p≥5时，p不能整除绝对值小于p的非零整数。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此假设不成立，故p整除abc。
提示：反证法完成。
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