中国科学技术大学 2021年强基第8题

解：注意到 $$ \begin{aligned} & a_{3}=a_{2 \times 1+1}=2 a_{1}+a_{1}+2 \times 1^{2}+4 \times 1 \times 1=15 \\ & a_{5}=a_{2 \times 1+3}=2 a_{1}+a_{3}+2 \times 1^{2}+4 \times 1 \times 3=35 \end{aligned} $$ 同时 $a_{5}=a_{2 \times 2+1}=2 a_{2}+a_{1}+2 \times 2^{2}+4 \times 2 \times 1=2 a_{2}+19$ ，故 $a_{2}=8$ ．而进一步，我们有 $$ a_{4}=a_{2 \times 1+2}=2 a_{1}+a_{2}+2 \times 1^{2}+4 \times 2 \times 1=a_{2}+16=24 $$ 于是我们观察到 $$ a_{1}=1 \times 3, a_{2}=2 \times 4, a_{3}=3 \times 5, a_{4}=4 \times 6, a_{5}=5 \times 7 $$ 我们猜测 $a_{n}=n(n+2)$ ，下面用数学归纳法证明： 当 $n \leqslant 2$ 时，显然成立；我们假设当 $n \leqslant k+1$ 时，有 $a_{n}=n(n+2)$ ，其中 $k>1$ ， 接下来考虑 $n=k+2$ 的情况： $$ a_{k+2}=a_{2 \times 1+k}