中国科学技术大学 2021年强基第9题

解：我们首先证明两个引理． 引理 1：若 $F(x)=e^{-x} f(x)$ 有两个根 $a$ 与 $b$ ，其中 $f(x)$ 为实系数多项式且 $a\lt b$ ，则存在 $c \in(a, b)$使得 $c$ 是其导函数 $F^{\prime}(x)$ 的根， 证明：若 $F^{\prime}(x)$ 在区间 $(a, b)$ 有正有负，则由零点存在定理知结论成立；若不然，$F(x)$ 在区间 $(a, b)$恒正或恒负，则 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 上单调，这与 $F(a)=F(b)=0$ 矛盾。 引理 2：设 $a$ 是实系数多项式 $f(x)$ 的 $k$ 重根，$k \geqslant 2$ ，则 $a$ 也是其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的 $k-1$ 重根． 证明：不妨设 $f(x)=(x-a)^{k} g(x)$ ，其中 $g(x)$ 为不以 $a$ 为根的多项式，则 $$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =k(x-a)^{k-1} g(x)+(x-a)^{k} g^{\prime}(x) \\ & =(x-a)^{k-1}\left[k g(x)+(x-a) g^{\prime}(x)\right] \\ & =(x-a)^{k-1} h(x) \end{aligned} $$ 由于 $h(a)=k g(a) \neq 0$ ，所以 $a$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的 $k-1$ 重根，则 下面开始我们的证明， 由题不妨设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}$ 为 $f(x)$ 互不相等的单根，$b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{1}$ 为 $f(x)$ 互不相等的重根（重数分别为 $\left.\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{1}\right)$ ，则 $$ f(x)=A\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{s}\right)\left(x-b_{1}\right)^{\beta_{1}}\left(x-b_{2}\right)^{\beta_{2}} \cdots\left(x-b_{1}\right)^{\beta_{1}}, $$ 其中 $s+\sum_{i=1}^{t} \beta_{i}=n$ ， 令 $F(x)=e^{-x} f(x)$ ，则 $F^{\prime}(x)=-e^{-x}\left[f(x)-f^{\prime}(x)\right]=-e^{-x} g(x)$ ，则 $$