武汉大学 2022年强基第1题
📝 题目
设 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \cdots \mathrm{x}_{\mathrm{n}}(\mathrm{n} \geq 2)$ 均为正数，且满足 $$ \frac{1}{x_{1}+2022}+\frac{1}{x_{2}+2022}+\cdots+\frac{1}{x_{n}+2022}=\frac{1}{2022}, $$ 证明： $$ \frac{\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}}{n-1} \geq 2022 . $$
💡 答案解析
解：注意到由 AM－GM 不等式有 $$ \begin{aligned} & \prod_{i=1}^{n} \frac{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{2022\left(\mathrm{x}_{i}+2022\right)}=\prod_{i=1}^{n} \sum_{k \neq i} \frac{1}{\mathrm{x}_{\mathrm{k}}+2022} \\ & \geq \prod_{i=1}^{n}\left((n-1) \sqrt[n-1]{\prod_{k \neq 1} \frac{1}{\mathrm{x}_{\mathrm{k}}+2022}}\right) \\ & =\frac{(\mathrm{n}-1)^{\mathrm{n}}}{\prod_{i=1}^{n}\left(x_{i}+2022\right)}, \\ & \frac{\sqrt[n]{\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2} \cdots \mathrm{x}_{\mathrm{n}}}}{\mathrm{n}-1} \geq 2022 . \end{aligned} $$ 即 【解析】上述证法，有一定的技巧，下面给出一种稍微简单但暴力的证法，不妨设 $\displaystyle \mathrm{y}_{\mathrm{i}}=\frac{1}{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}+2022}$ ， 则 $\displaystyle x_{i}=\frac{1}{y_{1}}-2022,1 \leq i \leq n$ ，从而原题转化为： 已知 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} y_{i}=\frac{1}{2022}, 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知条件进行恒等变形
由条件得：∑_{i=1}^n 1/(x_i+2022) = 1/2022，两边乘以2022得：∑_{i=1}^n 2022/(x_i+2022) = 1。
公式：∑_{i=1}^n 2022/(x_i+2022) = 1
提示：将常数2022与分母结合，便于后续构造乘积形式。
步骤 2/5
目标：构造乘积形式并应用AM-GM不等式
考虑乘积∏_{i=1}^n [2022/(x_i+2022)]，由条件知每个因子等于1减去其余项之和，即2022/(x_i+2022) = ∑_{k≠i} 1/(x_k+2022)。
公式：2022/(x_i+2022) = ∑_{k≠i} 1/(x_k+2022)
提示：将每个因子表示为和的形式，为应用AM-GM做准备。
步骤 3/5
目标：对每个和式应用AM-GM不等式
对每个i，有∑_{k≠i} 1/(x_k+2022) ≥ (n-1) [∏_{k≠i} 1/(x_k+2022)]^{1/(n-1)}，等号当所有1/(x_k+2022)相等时成立。
公式：∑_{k≠i} 1/(x_k+2022) ≥ (n-1) (∏_{k≠i} 1/(x_k+2022))^{1/(n-1)}
提示：AM-GM不等式：算术平均≥几何平均。
步骤 4/5
目标：将不等式代入乘积并化简
于是∏_{i=1}^n 2022/(x_i+2022) ≥ ∏_{i=1}^n [(n-1) (∏_{k≠i} 1/(x_k+2022))^{1/(n-1)}] = (n-1)^n / ∏_{i=1}^n (x_i+2022)。
公式：∏_{i=1}^n 2022/(x_i+2022) ≥ (n-1)^n / ∏_{i=1}^n (x_i+2022)
提示：注意右边乘积中每个1/(x_i+2022)出现(n-1)次，最终约去。
步骤 5/5
目标：化简不等式得到目标形式
两边乘以∏(x_i+2022)得：2022^n ≥ (n-1)^n ∏ x_i，即∏ x_i ≤ [2022/(n-1)]^n。开n次方得：√[n]{x_1...x_n} ≤ 2022/(n-1)，即√[n]{x_1...x_n}/(n-1) ≥ 2022。
公式：√[n]{x_1...x_n}/(n-1) ≥ 2022
提示：注意不等式方向：由乘积不等式推出几何平均不等式。
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