武汉大学 2022年强基第2题
📝 题目
设 F 是椭圆 $\displaystyle C: \frac{\mathrm{x}^{2}}{9}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ 的左焦点，$P$ 为椭圆 $C$ 上一动点， （1）做正方形 FPAB （ $\mathrm{F}, \mathrm{P}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 按逆时针排列），当 P 沿椭圆 C 运动一周，求 B 的轨迹方程； （2）设 $Q(3,2)$ 为椭圆外一点，求 $|P Q|+|P F|$ 的取值范围。
💡 答案解析
解：（1）如图 11．1（a），将椭圆 C 绕其左焦点 $\mathrm{F}(-\sqrt{5}, 0)$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到椭圆 $C^{\prime}$ ，注意到在正方形 FPAB 中，点 B 可以看成也是由点 P 绕点 F 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 而形成的，因此由于点 P 在椭圆 C 上运动，则点 B 在椭圆 $C^{\prime}$ 上运动，求 B 的轨迹方程，也就是求椭圆 $C^{\prime}$ 的方程。 注意到椭圆 $C^{\prime}$ 的中心坐标为 $(-\sqrt{5}, \sqrt{5})$ ，从而 $C^{\prime}$ 的方程为 $$ \frac{(x+\sqrt{5})^{2}}{4}+\frac{(x-\sqrt{5})^{2}}{9}=1 $$ （2）如图 11.1 （b），我们有 $$ |P Q|+|P F| \geq|Q F|=\sqrt{(3+\sqrt{5})^{2}+2^{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{15} $$ 当且仅当 $P, F, Q$ 三点共线，即 $P$ 运动到 $P_{1}$ 位置时，等号成立。 记椭圆 C 的右焦点为 $E(\sqrt{5}, 0)$ ，注意到 $$ |P Q|+|P F|=|P Q|+(2 \mathrm{a}-|P E|)=|P Q|-|P E|+6,
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定左焦点F的坐标
椭圆方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，a=3，b=2，c=√(a^2-b^2)=√5，左焦点F(-√5, 0)。
公式：c = √(a^2 - b^2)
提示：注意焦点在x轴上，左焦点坐标为(-c, 0)。
步骤 2/6
目标：理解旋转关系，建立B点与P点的联系
正方形FPAB逆时针排列，向量FB由向量FP逆时针旋转90°得到，即B = F + (P - F)旋转90°。
公式：旋转公式：(x,y) → (-y, x) 逆时针90°
提示：旋转中心为F，注意旋转方向。
步骤 3/6
目标：推导B点轨迹方程
P在椭圆C上，B由P绕F逆时针旋转90°得到，故B的轨迹是椭圆C绕F旋转90°后的椭圆C'。C'中心为F旋转后的点(-√5, √5)，长轴与短轴互换，方程为(x+√5)^2/4 + (y-√5)^2/9 = 1。
公式：椭圆旋转后方程形式
提示：旋转后长轴方向改变，注意a和b的位置互换。
步骤 4/6
目标：求解|PQ|+|PF|的最小值
由椭圆定义，|PF|+|PE|=2a=6，其中E为右焦点(√5,0)。则|PQ|+|PF|=|PQ|+6-|PE|。当P、E、Q共线且P在E、Q之间时，|PQ|-|PE|最小，最小值为-|EQ|。计算|EQ|=√((3-√5)^2+2^2)=√(18-6√5)=√15-√3，故最小值为6-(√15-√3)=6+√3-√15。
公式：|PF|+|PE|=2a，|PQ|+|PF|=|PQ|+2a-|PE|
提示：利用椭圆定义转化，注意三点共线取最值。
步骤 5/6
目标：求解|PQ|+|PF|的最大值
|PQ|+|PF|=|PQ|+6-|PE|，当P在椭圆上运动时，|PQ|-|PE|的最大值在P位于椭圆左端点时取得。左端点坐标为(-3,0)，计算|PQ|=√((3+3)^2+2^2)=√40=2√10，|PE|=√((√5+3)^2+0^2)=3+√5，故最大值为2√10+6-(3+√5)=3+2√10-√5。
公式：两点间距离公式
提示：最大值通常出现在端点，需验证。
步骤 6/6
目标：综合取值范围
由以上得|PQ|+|PF|的最小值为6+√3-√15，最大值为3+2√10-√5，取值范围为[6+√3-√15, 3+2√10-√5]。
提示：注意端点是否可取到。
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