武汉大学 2022年强基第3题
📝 题目
已知函数 $f(x)=2 x^{3}+3 a x^{2}+6(3-a) x+2022 a$ ．若函数在区间 $[-2,2]$ 上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围。
💡 答案解析
解：由 $f(x)=2 x^{3}+3 a x^{2}+6(3-a) x+2022 a$ ，则 $$ \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=6\left(\mathrm{x}^{2}+a x+3-a\right) $$ 又 $\mathrm{f}(x)$ 在区间 $[-2,2]$ 上是单调递增，所以 $\mathrm{f}^{\prime}(x) \geq 0$ ，即 $$ x^{2}+a x+3-a \geq 0 \Leftrightarrow a(x-1)+3 \geq-x^{2} $$ 在区间 $[-2,2]$ 上恒成立，我们考虑过定点 $\mathrm{P}(1,3)$ 的直线 $\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{x}-1)+3$ 和抛物线 $\mathrm{y}=-\mathrm{x}^{2}$在 $[-2,2]$ 上的两个临界位置，如下图： 
当直线 $y=a(x-1)+3$ 与抛物线 $y=-x^{2}$ 相切于 $A$ 点时，有 $$
当直线 $y=a(x-1)+3$ 与抛物线 $y=-x^{2}$ 相切于 $A$ 点时，有 $$📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求导数
对函数f(x)=2x^3+3ax^2+6(3-a)x+2022a求导，得到f'(x)=6(x^2+ax+3-a)。
公式：f'(x)=6(x^2+ax+3-a)
提示：注意系数6可以提取出来简化计算。
步骤 2/6
目标：转化恒成立条件
由单调递增得f'(x)≥0在[-2,2]上恒成立，即x^2+ax+3-a≥0，等价于a(x-1)+3≥-x^2。
公式：x^2+ax+3-a≥0 ⇔ a(x-1)+3≥-x^2
提示：将不等式转化为直线与抛物线的关系，便于数形结合。
步骤 3/6
目标：确定临界情况
考虑直线y=a(x-1)+3过定点P(1,3)，抛物线y=-x^2在[-2,2]上。临界位置是直线与抛物线相切或过端点。
公式：直线：y=a(x-1)+3；抛物线：y=-x^2
提示：定点P(1,3)在抛物线内部，直线需在抛物线下方。
步骤 4/6
目标：求相切时的a值
联立y=a(x-1)+3与y=-x^2，得x^2+ax+3-a=0。相切时判别式Δ=0，即a^2-4(3-a)=0，解得a=2或a=-6。
公式：Δ=a^2-4(3-a)=0 ⇒ a=2或a=-6
提示：注意判别式公式：Δ=b^2-4ac。
步骤 5/6
目标：检验端点条件
在x=-2处，需满足a(-2-1)+3≥-4，即-3a+3≥-4，解得a≤7/3；在x=2处，需满足a(2-1)+3≥-4，即a+3≥-4，解得a≥-7。
公式：x=-2: -3a+3≥-4 ⇒ a≤7/3；x=2: a+3≥-4 ⇒ a≥-7
提示：端点处不等式方向注意符号。
步骤 6/6
目标：综合确定a的范围
结合相切条件a=2或a=-6，以及端点条件，分析得a的取值范围是[-7,2]。
公式：a∈[-7,2]
提示：注意a=2时直线与抛物线相切，满足条件；a=-6时切点不在区间内，需排除。
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