武汉大学 2022年强基第4题
📝 题目
连续随机掷一枚骰子，一直掷到 6 点出现 3 次，用 X 表示停止时已经掷的次数。 （1）求 X 的分布列 $\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{k}), \mathrm{k}=3,4, \ldots$ ； （2）设 $Y=\min (\max (X, 4), 5)$ ，求数学期望 $E(Y)$ 。
💡 答案解析
解：（1）显然当掷 k 次才停止时，必有第 k 次掷出的是 6 ，前 $\mathrm{k}-1$ 中有 2 次掷出 $6, \mathrm{k}-3$ 次掷出的是其他数字，所以 $$ P(X=\mathrm{k})=\frac{1}{6} \cdot\left(\frac{\mathrm{k}-1}{2}\right) \cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{\mathrm{k}-3}=\frac{(\mathrm{k}-1)(\mathrm{k}-2) \cdot 5^{\mathrm{k}-3}}{2 \cdot 6^{\mathrm{k}}}, \mathrm{k} \geq 3 . $$ （2）当 $Y=4$ 时，有 $X=3,4$ ，故 $$ P(Y=4)=P(X=3)+P(X=4)=\frac{1}{216}+\frac{5}{432}=\frac{7}{432} $$ 当 $Y=5$ 时，有 $X \geqslant 5$ ，故 $$ P(Y=5)=P(X \geq 5)=1-(P(X=3)+P(X=4))=\frac{425}{432} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意，确定随机变量X的含义
X表示掷骰子直到6点出现3次的总次数，每次掷骰子独立，每次出现6的概率为1/6，其他概率为5/6。
提示：注意最后一次必须是6点。
步骤 2/7
目标：推导X的分布列
第k次停止，则第k次为6，前k-1次中恰好有2次6，其余k-3次为非6。概率为C(k-1,2)*(1/6)^3*(5/6)^(k-3)。
公式：P(X=k)=C(k-1,2)*(1/6)^3*(5/6)^(k-3), k≥3
提示：组合数C(k-1,2)表示前k-1次中选2次为6。
步骤 3/7
目标：化简分布列表达式
C(k-1,2)=(k-1)(k-2)/2，代入得P(X=k)=(k-1)(k-2)*5^(k-3)/(2*6^k)。
公式：P(X=k)=((k-1)(k-2)*5^(k-3))/(2*6^k)
提示：注意指数和分母的化简。
步骤 4/7
目标：确定Y的取值及对应X的范围
Y=min(max(X,4),5)，即Y=4当X≤4，Y=5当X≥5。具体地，Y=4对应X=3或4；Y=5对应X≥5。
提示：max(X,4)将X小于4的部分提升到4，min(...,5)将大于5的部分截断到5。
步骤 5/7
目标：计算P(Y=4)
P(Y=4)=P(X=3)+P(X=4)。由分布列：P(X=3)=1/216，P(X=4)=5/432，和为7/432。
公式：P(Y=4)=1/216+5/432=7/432
提示：注意通分计算。
步骤 6/7
目标：计算P(Y=5)
P(Y=5)=P(X≥5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-7/432=425/432。
公式：P(Y=5)=425/432
提示：利用概率和为1。
步骤 7/7
目标：计算数学期望E(Y)
E(Y)=4*P(Y=4)+5*P(Y=5)=4*(7/432)+5*(425/432)= (28+2125)/432=2153/432。
公式：E(Y)=2153/432
提示：注意分数加法。
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