南方科技大学 2023年强基第1题

【解析】可建立空间直角坐标系并不妨设 $A(0,0,0), B(a, b, 1), C(c, 0, \sqrt{3})$ ，若记正方体边长平方为 $k$ ，则 $a^{2}+b^{2}+1=c^{2}+3=k,(a-c)^{2}+b^{2}+(\sqrt{3}-1)^{2}=2 k$（这里认为平面 $a$ 就是 $x O y$ 平面）用前两式减去第三个得到 $a c=-\sqrt{3}$ 。注意到 $\overrightarrow{n_{1}}=\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}=$ $(\sqrt{3} b, c-\sqrt{3} a,-b c), \overrightarrow{n_{2}}=(0,0,1)$ ，利用 $\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}+2, \cos \theta=\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|} \Rightarrow \cos ^{2} \theta= \frac{b^{2} c^{2}}{3 b^{2}+3 a^{2}+c^{2}-2 \sqrt{3} a c+b^{2} c^{2}}=\frac{\left(c^{2}-a^{2}+2\right) c^{2}}{3 b^{2}+3 a^{2}+c^{2}+6+\left(c^{2}-a^{2}+2\right) c^{2}}=\frac{c^{4}+2 c^{2}-3}{c^{4}+6 c^{2}+9}=$ $\displaystyle \frac{c^{2}-1}{c^{2}+3}$.