南方科技大学 2023年强基第2题
📝 题目
有 18 个大小外形全部相同的小球，把它们分别放进编号为 $1 、 2 、 3$ 的三个盒子中，其中每个盒子里的球数必须多于其编号数。问一共有多少种放置方法。
💡 答案解析
【解析】所以求为 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=18$ 满足 $x_{1} \geq 1, x_{2} \geq 2, x_{3} \geq 3$ 的正整数组解的个数，而它等价于 $x_{1}+\left(x_{2}-1\right)+\left(x_{3}-2\right)=15$ 的正整数组解数 $C_{14}^{2}=91$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意，建立数学模型
将18个相同小球放入3个盒子，每个盒子球数大于编号，即盒子1至少1个，盒子2至少2个，盒子3至少3个。求满足条件的正整数解个数。
提示：注意球相同，盒子不同，且每个盒子有下限。
步骤 2/5
目标：设变量并列出不等式
设盒子1、2、3中球数分别为x1, x2, x3，则x1+x2+x3=18，且x1≥1，x2≥2，x3≥3。
公式：x1+x2+x3=18, x1≥1, x2≥2, x3≥3
提示：变量均为正整数。
步骤 3/5
目标：变量替换化为标准形式
令y1=x1, y2=x2-1, y3=x3-2，则y1≥1, y2≥1, y3≥1，且y1+y2+y3=15。
公式：y1+y2+y3=15, y_i≥1
提示：替换后每个变量下限变为1。
步骤 4/5
目标：应用隔板法求正整数解个数
方程y1+y2+y3=15的正整数解个数为C(15-1, 3-1)=C(14,2)=91。
公式：C(n-1, k-1) 其中n=15, k=3
提示：隔板法：15个球中间14个空插入2个板。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，放置方法共有91种。
提示：注意检查是否遗漏或重复。
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