南方科技大学 2023年强基第3题
📝 题目
有编号为 1 到 7 的七种钟，它们的波长成等比数列。其中编号为 1 的钟波长为 $m$ ，编号为 4 的钟波长为 $n$ ，求编号为 3 的钟的波长与编号为 4 的钟的波长的乘积。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle \frac{n}{m}=q^{3} \Rightarrow a_{3} a_{4}=m q^{2} n=m^{\frac{1}{3}} n^{\frac{5}{3}}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设等比数列公比
设七种钟的波长构成等比数列，公比为q，首项a1=m，则a4=n。
公式：a_n = a_1 * q^(n-1)
提示：注意编号对应项数
步骤 2/6
目标：用m,n表示公比q
由a4 = a1 * q^3，得n = m * q^3，所以q^3 = n/m。
公式：q^3 = n/m
提示：q^3整体处理
步骤 3/6
目标：表示a3
a3 = a1 * q^2 = m * q^2。
公式：a3 = m * q^2
步骤 4/6
目标：计算乘积a3 * a4
a3 * a4 = (m * q^2) * n = m n q^2。
公式：a3 * a4 = m n q^2
步骤 5/6
目标：用m,n表示q^2
由q^3 = n/m，得q^2 = (q^3)^(2/3) = (n/m)^(2/3)。
公式：q^2 = (n/m)^(2/3)
提示：指数运算
步骤 6/6
目标：代入化简
a3 * a4 = m n * (n/m)^(2/3) = m^(1 - 2/3) * n^(1 + 2/3) = m^(1/3) * n^(5/3)。
公式：a3 * a4 = m^(1/3) * n^(5/3)
提示：合并指数
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