南方科技大学 2022年强基第1题
📝 题目
有五个人甲乙丙丁戊去 ABCD 四个地方，甲不去 A ，每个地方都要有人，求一共几种排法（ ）。 A． 180 B． 108 C． 72 D． 216
💡 答案解析
设 $K_{B}$ 为甲去 A 但 B 没人去的排法，同理设 $K_{C}, K_{D}$ ， $\left|K_{B}\right|=\left|K_{C}\right|=\left|K_{D}\right|=3^{4} \cdot\left|K_{B} \cap K_{C}\right|=\left|K_{B} \cap K_{D}\right|=\left|K_{C} \cap K_{D}\right|=2^{4}$ $\left|K_{B} \cap K_{C} \cap K_{D}\right|=1 .\left|K_{B} \cup K_{C} \cup K_{D}\right|=3 \times 3^{4}-3 \times 2^{4}+1=196$ 则甲去 A 且每个地方都有人去的排法为 $4^{4}-196=60$ ，同理，则甲去 $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 且每个地方都有人去的排法各有 60 种，共 $60 \times 3=180$ 种，选A。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算甲去A且每个地方都有人去的排法
先不考虑甲不去A的条件，计算甲去A时每个地方都有人去的排法。总排法为4^4=256，但需排除有地方没人的情况。
公式：4^4 = 256
提示：注意甲固定去A，其余四人去四个地方，每人有4种选择。
步骤 2/7
目标：定义事件并计算单个事件的数量
设K_B为甲去A且B地没人的排法，同理K_C、K_D。每人只能去A、C、D，共3^4=81种。|K_B|=|K_C|=|K_D|=81。
公式：|K_B| = 3^4 = 81
提示：B地没人，则每人可选地方减少一个。
步骤 3/7
目标：计算两个事件交集的数量
K_B∩K_C表示甲去A且B、C都没人，每人只能去A、D，共2^4=16种。同理其他交集。
公式：|K_B∩K_C| = 2^4 = 16
提示：两个地方没人，每人可选地方减少两个。
步骤 4/7
目标：计算三个事件交集的数量
K_B∩K_C∩K_D表示甲去A且B、C、D都没人，每人只能去A，共1^4=1种。
公式：|K_B∩K_C∩K_D| = 1^4 = 1
提示：三个地方没人，每人只能去A。
步骤 5/7
目标：用容斥原理求并集大小
|K_B∪K_C∪K_D| = 3×81 - 3×16 + 1 = 243 - 48 + 1 = 196。
公式：|K_B∪K_C∪K_D| = 3×3^4 - 3×2^4 + 1 = 196
提示：容斥原理：单事件和减两两交和加三交。
步骤 6/7
目标：计算甲去A且每个地方都有人的排法
甲去A且每个地方都有人的排法 = 总排法 - 有地方没人的排法 = 256 - 196 = 60。
公式：60 = 4^4 - 196
提示：排除有地方没人的情况。
步骤 7/7
目标：考虑甲不去A的条件，计算总排法
甲不去A，则甲可以去B、C、D三个地方。每个地方都有人的排法对称，故甲去B、C、D且每个地方都有人的排法各60种，共60×3=180种。
公式：总排法 = 60 × 3 = 180
提示：甲不去A，所以甲有3个选择。
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