南方科技大学 2021年强基第1题
📝 题目
已知集合 $A=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \mid x_{i} \in\{-1,0,1\}\right\}$ ，满足 $1 \leqslant\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\left|x_{4}\right|+\left|x_{5}\right| \leqslant 3$ 的元素有几个？
💡 答案解析
枚举就可以了，一个 1 ，共有 10 种，两个 1 ，共有 40 种，三个 1 ，共有 80 种，总共有 130 种。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意
集合A中的元素是五维向量，每个分量取-1,0,1。要求所有分量绝对值的和介于1到3之间（含端点）。
公式：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5| ∈ [1,3]
提示：注意绝对值非负，每个分量的绝对值只能是0或1。
步骤 2/6
目标：分类讨论：按非零分量个数分类
设非零分量个数为k，则k=1,2,3。每个非零分量可取±1，有2种选择。
公式：k = 1,2,3
提示：非零分量个数即绝对值之和。
步骤 3/6
目标：计算k=1的情况
从5个位置选1个放非零分量，有C(5,1)=5种选法。每个非零分量有2种取值（±1），故总数为5×2=10。
公式：C(5,1)×2 = 10
提示：注意顺序：先选位置，再定符号。
步骤 4/6
目标：计算k=2的情况
从5个位置选2个放非零分量，有C(5,2)=10种选法。每个非零分量有2种取值，故总数为10×2^2=40。
公式：C(5,2)×2^2 = 10×4 = 40
提示：2^2表示两个非零分量的符号组合数。
步骤 5/6
目标：计算k=3的情况
从5个位置选3个放非零分量，有C(5,3)=10种选法。每个非零分量有2种取值，故总数为10×2^3=80。
公式：C(5,3)×2^3 = 10×8 = 80
提示：C(5,3)=C(5,2)=10。
步骤 6/6
目标：求和得到总数
将三种情况相加：10+40+80=130。
公式：10+40+80=130
提示：注意检查是否遗漏或重复。
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