南方科技大学 2021年强基第2题
📝 题目
对于椭圆 $\Gamma$ ，在 $\Gamma$ 外一点 $P$ 作两条切线 $P A, P B$（不重合），记满足 $\angle A P B=\theta$ 的 $P$ 的集合为 $H$ A．$\Gamma$ 上任意一点 $M$ 作切线都与 $H$ 有两个交点 B．存在 $\Gamma$ 上一点 $M$ 使得过 $M$ 切线与 $H$ 有三个交点 C．若 $\Gamma$ 是圆，则 $H$ 是圆 D．$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$ 时，$H$ 是圆 E．$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$ 时，$H$ 是圆或椭圆
💡 答案解析
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $$ 
$$ \begin{aligned} l_{P A}: y & =k(x-s)+t \\ & =k x+t-k s \\ & =k x+m \\ c^{2}+a^{2} & \left(k^{2} x^{2}+m^{2}+2 k m x\right)-a^{2} b^{2}=0 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}
$$ \begin{aligned} l_{P A}: y & =k(x-s)+t \\ & =k x+t-k s \\ & =k x+m \\ c^{2}+a^{2} & \left(k^{2} x^{2}+m^{2}+2 k m x\right)-a^{2} b^{2}=0 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned}📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意，明确H的定义
H是椭圆Γ外一点P，使得从P向Γ作两条切线PA、PB，夹角∠APB=θ的P的集合。
提示：注意P在椭圆外，且两条切线不重合。
步骤 2/5
目标：分析选项A和B：过椭圆上一点M的切线与H的交点个数
过椭圆上一点M作切线，该切线与H的交点个数取决于H的形状。由于H通常为圆或椭圆，直线与二次曲线最多两个交点，故A正确，B错误。
提示：直线与二次曲线最多两个交点。
步骤 3/5
目标：分析选项C：若Γ是圆，则H是圆
设Γ为单位圆x²+y²=1，P(x0,y0)在圆外，切线夹角θ满足sin(θ/2)=1/√(x0²+y0²)，故H为圆x²+y²=csc²(θ/2)，是圆。
公式：sin(θ/2)=1/√(x0²+y0²)
提示：利用几何关系推导。
步骤 4/5
目标：分析选项D：θ=π/2时，H是圆
当θ=π/2时，从P向椭圆作两条垂直切线。对于椭圆x²/a²+y²/b²=1，P的轨迹是圆x²+y²=a²+b²，即蒙日圆。
公式：x²+y²=a²+b²
提示：蒙日圆性质。
步骤 5/5
目标：分析选项E：θ≠π/2时，H是圆或椭圆
一般椭圆，当θ固定时，P的轨迹方程是四次曲线，不是圆或椭圆。例如椭圆x²/4+y²=1，θ=60°时轨迹非圆非椭圆。故E错误。
提示：可通过具体例子验证。
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