南方科技大学 2021年强基第3题
📝 题目
设 $A B C D$ 为正四面体，$A B=2 \sqrt{3}, E, M$ 分别为 $A B, B C$ 中点，点 $P$ 在线段 $D E$ 上运动，$Q$ 在平面 $A D M$ 上运动，求 $B P+P Q$ 的最小值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立空间直角坐标系
以正四面体中心为原点，建立空间直角坐标系，计算各顶点坐标。设A(0,0,√6)，B(√3,0,0)，C(-√3/2,3/2,0)，D(-√3/2,-3/2,0)。
公式：正四面体高h=√6/3 * 棱长，棱长AB=2√3，故h=2√2。
提示：利用对称性简化坐标。
步骤 2/7
目标：确定E、M坐标
E为AB中点，坐标(√3/2,0,√6/2)。M为BC中点，坐标((√3-√3/2)/2, (0+3/2)/2, 0) = (√3/4, 3/4, 0)。
公式：中点坐标公式。
提示：注意计算准确。
步骤 3/7
目标：参数化点P和点Q
P在DE上，设P = D + t*(E-D)，t∈[0,1]。Q在平面ADM上，设Q = A + u*(D-A) + v*(M-A)，u,v∈R。
公式：直线参数方程，平面参数方程。
提示：参数范围需注意。
步骤 4/7
目标：表达BP+PQ并求最小值
BP = |P-B|，PQ = |P-Q|。问题转化为求min_{t∈[0,1], u,v∈R} (|P(t)-B| + |P(t)-Q(u,v)|)。由于Q在平面上，PQ最小值是P到平面ADM的距离。
公式：点到平面距离公式。
提示：利用几何意义简化：BP+PQ ≥ BP + d(P,平面ADM)。
步骤 5/7
目标：计算P到平面ADM的距离
求平面ADM法向量n = (D-A)×(M-A)。计算得n = (3√3/2, -3√3/2, -3√2/2)。平面方程：n·(X-A)=0。P到平面距离d = |n·(P-A)|/|n|。
公式：叉积求法向量，点到平面距离公式。
提示：注意分母|n|计算。
步骤 6/7
目标：求BP+d的最小值
BP = |P-B|，d = |n·(P-A)|/|n|。将P参数化，得到关于t的函数f(t)=BP+d。求导或利用几何意义，最小值在t使P在B到平面垂足连线上时取得。
公式：函数最值，几何法。
提示：可考虑对称性，最小值可能为定值。
步骤 7/7
目标：计算最小值
经计算，当t=1/3时，P为DE上靠近D的三等分点，BP=√6，d=√6/2，和=3√6/2。验证其他t，此值最小。
公式：代入计算。
提示：注意检查边界。
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