南方科技大学 2021年强基第4题
📝 题目
已知集合 $A=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \mid x_{i} \in\{-1,0,1\}, i=1,2,3,4,5\right\}$ ，求集合 $A$ 中满足 $1 \leq\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\left|x_{4}\right|+\left|x_{5}\right| \leq 3$ 的元素个数。
💡 答案解析
【解析】因为 $\left|x_{i}\right|$ 只能为 0 或 1 ，所以先考虑 0 的个数，再考虑每个 $\pm 1$ 的情况，即知所求为 $C_{5}^{4} \cdot 2+C_{5}^{3} \cdot 2^{2}+C_{5}^{2} \cdot 2^{3}=10+40+80=130$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，确定变量取值范围
每个x_i只能取-1,0,1，因此|x_i|只能为0或1。问题转化为求满足1≤k≤3的k值，其中k是|x_i|中1的个数。
提示：注意|x_i|非负且只有0和1两种可能。
步骤 2/6
目标：分类讨论k的取值
k=1,2,3分别对应|x_i|中恰好有1个、2个、3个1的情况。
提示：k不能为0或4、5，因为1≤k≤3。
步骤 3/6
目标：计算k=1时的元素个数
从5个位置选1个放非零值，有C(5,1)=5种选法。该位置可取±1，有2种选择。故个数为5×2=10。
公式：C(5,1)×2
提示：注意每个非零位置有2种取值。
步骤 4/6
目标：计算k=2时的元素个数
从5个位置选2个放非零值，有C(5,2)=10种选法。每个非零位置有2种取值，共2^2=4种。故个数为10×4=40。
公式：C(5,2)×2^2
提示：非零位置独立选择±1。
步骤 5/6
目标：计算k=3时的元素个数
从5个位置选3个放非零值，有C(5,3)=10种选法。每个非零位置有2种取值，共2^3=8种。故个数为10×8=80。
公式：C(5,3)×2^3
提示：注意C(5,3)=C(5,2)=10。
步骤 6/6
目标：求和得到总个数
将k=1,2,3的个数相加：10+40+80=130。
公式：10+40+80=130
提示：检查是否有遗漏或重复。
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