南方科技大学 2021年强基第5题
📝 题目
已知 $f(x)=\sin (\omega x)+\cos (\omega x)$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上有三个零点，求 $\omega$ 的范围。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle f(x)=\sqrt{2} \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ ，从而条件等价于 $\displaystyle \omega x+\frac{\pi}{4}=k \pi, k \in \mathbb{Z}$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上有三个解。因为 $\displaystyle 2 \cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\lt \pi$ ，故三个解为 $-\pi, 0, \pi$ ，故 $\displaystyle \pi\lt |\omega \pi|+\frac{\pi}{4} \leq 2 \pi,-2 \pi \leq-|\omega \pi|+\frac{\pi}{4}\lt -\pi$ ，故得 $\displaystyle \frac{5 \pi}{4}\lt |\omega \pi| \leq \frac{7 \pi}{4}$ ，所以 $\omega$ 的取值范围为 $\displaystyle \left[-\frac{7}{4},-\frac{5}{4}\right) \bigcup\left(\frac{5}{4}, \frac{7}{4}\right]$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简函数表达式
将 f(x)=sin(ωx)+cos(ωx) 化为单一正弦形式：f(x)=√2 sin(ωx+π/4)。
公式：sin α + cos α = √2 sin(α+π/4)
提示：辅助角公式，注意相位为π/4。
步骤 2/6
目标：转化为零点条件
f(x)=0 等价于 sin(ωx+π/4)=0，即 ωx+π/4 = kπ, k∈Z。
公式：sin θ = 0 ⇔ θ = kπ, k∈Z
提示：正弦函数零点为整数倍π。
步骤 3/6
目标：确定零点个数与区间长度关系
方程 ωx+π/4 = kπ 在 (-π,π) 上有三个解。由于区间长度2π，且相位π/4，三个解应关于原点对称。
公式：解为 x = (kπ - π/4)/ω
提示：考虑k的取值，三个解对应k=-1,0,1或类似。
步骤 4/6
目标：分析解的位置
三个解应为 -π, 0, π 附近。因为区间端点-π和π可能为解，且0为解。需满足 ω·0+π/4 = kπ ⇒ k=1/4? 实际上0不是解，需调整。正确思路：三个解对应k=-1,0,1时，x分别为(-5π/4)/ω, (-π/4)/ω, (3π/4)/ω，需在(-π,π)内。
公式：x_k = (kπ - π/4)/ω
提示：注意ω的正负影响解的顺序。
步骤 5/6
目标：建立不等式组
设ω>0，则三个解从小到大为 x_{-1}, x_0, x_1。需满足 x_{-1} > -π, x_1 < π，且x_0在区间内自动满足。解得 -π < (-5π/4)/ω 且 (3π/4)/ω < π，即 ω > 5/4 且 ω > 3/4，综合得 ω > 5/4。同时需保证只有三个解，即 x_{-2} ≤ -π 且 x_2 ≥ π，得 (-9π/4)/ω ≤ -π ⇒ ω ≤ 9/4，且 (7π/4)/ω ≥ π ⇒ ω ≤ 7/4。故 5/4 < ω ≤ 7/4。
公式：不等式组：(-5π/4)/ω > -π, (3π/4)/ω < π, (-9π/4)/ω ≤ -π, (7π/4)/ω ≥ π
提示：注意不等式方向，ω>0时乘ω不等号不变。
步骤 6/6
目标：考虑ω为负的情况
由对称性，ω<0时，解的顺序相反，可得 -7/4 ≤ ω < -5/4。综合得ω∈[-7/4,-5/4)∪(5/4,7/4]。
公式：|ω| ∈ (5/4, 7/4]
提示：负ω时注意不等式方向反转。
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