南方科技大学 2021年强基第6题
📝 题目
如图电路，由原件 1，2，3 组成，原件 1 和原件 2 任何一个正常工作，且原件 3 正常工作，都能使电路正常运行，而 3 个原件的正常与否相互独立，且符合正态分布（ $1000,50^{2}$ ）（运行时间超过 1000 小时，即为正常）求：整个电路能正常运作的概率。💡 答案解析
【解析】由正态分布的对称性，及该正态分布的均值为 1000 知，每个原件正常运行的概率为 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 。根据电路图＂分步＂思想，整个电路正常运作的概率为 $\displaystyle \left(1-\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定每个元件正常工作的概率
由题意，元件寿命服从正态分布N(1000,50²)，运行时间超过1000小时即为正常。正态分布关于均值对称，故每个元件正常工作的概率为1/2。
公式：P(X>1000)=1/2
提示：利用正态分布对称性，均值处概率为0.5。
步骤 2/4
目标：分析电路结构
电路由元件1、2并联后再与元件3串联。元件1和2中至少一个正常工作，且元件3正常工作，则整个电路正常工作。
公式：电路正常 = (元件1或2正常) 且 元件3正常
提示：并联：至少一个正常；串联：两者都正常。
步骤 3/4
目标：计算并联部分正常工作的概率
元件1和2独立，每个正常概率为1/2。并联部分正常即至少一个正常，概率为1减去两个都失效的概率：1 - (1/2)*(1/2) = 3/4。
公式：P(并联正常)=1 - (1-p)² = 1 - (1/2)² = 3/4
提示：独立事件，用对立事件计算。
步骤 4/4
目标：计算整个电路正常工作的概率
整个电路正常工作需要并联部分正常且元件3正常。两者独立，概率相乘： (3/4) * (1/2) = 3/8。
公式：P(电路正常)=P(并联正常)×P(元件3正常)=3/4×1/2=3/8
提示：串联结构概率相乘。
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